沪科版（2024）九年级上册（2024）21.1 二次函数优秀当堂检测题

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本课核心问题
面对点、顶点、对称轴等不同条件，怎样选式、代入、求解并验证，才能高效而可靠地确定抛物线？
一、学习目标
1. 掌握待定系数法确定二次函数表达式的“选式—代入—求解—写式—检验”步骤。
2. 能够根据顶点、对称轴、普通点或已知系数选择顶点式或一般式，规范建立并求解方程（组）。
3. 能够借助点表和图象复核所得表达式，并说明条件是否足以唯一确定函数。
二、重点
• 根据已知条件选择恰当的二次函数形式
• 把图象上的点转化为关于待定系数的方程并规范求解
三、难点
• 判断条件的独立性与充分性，并用不同表征检验表达式
学习支架
条件与设式选择表
待定系数法闭环
1. 读条件，辨认点与结构信息
2. 选形式，确认未知数个数
3. 逐条代入，列方程（组）
4. 逐行求解，写完整表达式
5. 代回全部条件并检查a≠0
同一条件下的设式比较
表达式与图象互相检验
四、知识要点
1. 先选形式：让已知条件直接进入表达式
二次函数常用两种形式：一般式y=ax²+bx+c（a≠0）和顶点式y=a(x-h)²+k（a≠0）。已知顶点(h，k)时，顶点式已经吸收两个条件，通常只剩a；已知三个普通点时，一般式更自然。选择的准则不是“哪种形式更高级”，而是“哪种形式让未知数更少、条件翻译更直接”。边界提醒：已知对称轴x=h，只能确定顶点横坐标，不能凭空确定k；已知两个零点x₁、x₂时，也可把表达式写成y=a(x-x₁)(x-x₂)，但仍需另一个有效条件求a。
2. 点在图上：一对坐标就是一个方程
若点P(x₀，y₀)在二次函数图象上，就有y₀=ax₀²+bx₀+c。代入时先写完整等式，再化简，尤其注意负数横坐标必须加括号。例如点(-2，3)给出3=a·(-2)²+b·(-2)+c，即4a-2b+c=3。当二次项系数已知时，两个不同的有效点通常可以确定b、c。若点是y轴交点(0，m)，则立即得到c=m，这类条件应优先使用。
3. 三个普通点：列三元方程组并有策略地消元
设y=ax²+bx+c，把三个点分别代入得到三个方程。若某点横坐标为0，可先求c；若两点横坐标互为相反数，可将对应方程相加消去b、相减消去a与c。解题时每个关键变形单独一行，最后写成完整函数表达式。“有三个点”不等于一定能唯一确定。三个点的横坐标应互不相同，且所得a必须不为0；否则可能条件重复、无解，或退化成一次函数。
4. 检验不是附加步骤，而是确定过程的一部分
完成表达式后至少做两类检查：其一，把全部已知点逐一代回，左右两边必须相等；其二，检查结构信息，例如顶点式的顶点、一般式的对称轴x=-b/(2a)、开口方向及零点是否符合题意。若条件来自图象或测量表，还应描点观察形状是否合理。有效的书写闭环是：设（注明a≠0）→列→解→写→验。只报a、b、c而不写最终表达式，或只用一个点检验，都不完整。
五、典型例题
【例1】
例1 已知一条抛物线的顶点为(2，-3)，且经过点(0，5)。求这条抛物线对应的函数表达式。
【解答】因为顶点为(2，-3)，设
y=a(x-2)²-3（a≠0）。把点(0，5)代入，得
5=a(0-2)²-3。5=4a-3。4a=8。a=2。所以函数表达式为y=2(x-2)²-3。展开可得y=2x²-8x+5。检验：当x=0时，y=5；顶点式直接显示顶点为(2，-3)，且a=2≠0，全部条件满足。
【点拨】顶点已知时直接选顶点式。易错对比：把(0，5)代入写成5=a(0-2)-3漏掉平方，会得到错误的a。
【例2】
例2 抛物线经过点(-1，6)、(1，2)、(2，3)，求它对应的函数表达式。
【解答】设所求函数为y=ax²+bx+c（a≠0）。依次代入三点，得
a-b+c=6，①
a+b+c=2，②
4a+2b+c=3。③
②-①，得
2b=-4，b=-2。把b=-2代入②，得
a+c=4。④
把b=-2代入③，得
4a+c=7。⑤
⑤-④，得
3a=3，a=1。由④得c=3。所以函数表达式为y=x²-2x+3。复核：x=-1时y=6；x=1时y=2；x=2时y=3，三点均满足，且a=1≠0。
【点拨】先观察①②的结构，做差可快速消去a、c。数学思想：待定系数思想与消元思想。
【例3】
例3 已知一条抛物线的对称轴为直线x=1，且经过点(0，3)、(2，3)和(3，8)。求函数表达式，并说明点(0，3)、(2，3)为何给出相同函数值。
【解答】方法一：利用对称轴设顶点式
y=a(x-1)²+k（a≠0）。代入(0，3)，得
a+k=3。①
代入(3，8)，得
4a+k=8。②
②-①，得
3a=5，a=5/3。由①得k=4/3。所以y=(5/3)(x-1)²+4/3。展开得y=(5/3)x²-(10/3)x+3。检验：x=0与x=2到对称轴x=1的距离都为1，所以函数值相同，均为3；x=3时y=8。方法二也可设一般式，再由-b/(2a)=1及两个点列方程，但未知关系更复杂。
【点拨】对称点给出的两个条件可能重复。本题真正独立的信息是对称轴、一个对称点的函数值和第三个点。数学思想：数形结合与转化化归。
同 步 练 习
待定系数法闭环
1. 读条件，辨认点与结构信息
2. 选形式，确认未知数个数
3. 逐条代入，列方程（组）
4. 逐行求解，写完整表达式
5. 代回全部条件并检查a≠0
练习作图区：标出已知点、顶点和对称轴
★ 基础巩固
1. 已知抛物线顶点为(-3，2)，设其表达式为y=a(x+3)²+2（a≠0）。若它经过点(-2，5)，则a=（________），函数表达式为（________）。
2. 若点(-2，7)在抛物线y=ax²+bx+c上，则a、b、c满足的等式是（________）。
3. 任意三个点都能唯一确定一个二次函数。（ ）
4. 已知二次函数y=2x²+bx+c的图象经过点(0，-1)、(2，3)。列方程组求b、c，并写出函数表达式。
5. 抛物线y=ax²+bx+c经过原点，则c=（________）；若还经过点(1，0)，则a+b=（________）。
6. 已知抛物线的对称轴为x=2，就可以直接设函数为y=a(x-2)²。（ ）
★★ 能力提升
7. 已知抛物线顶点为(1，-4)，且经过点(3，0)。最简洁的设式是（________）。
A. y=ax²+bx+c
B. y=a(x-1)²-4
C. y=a(x+1)²-4
D. y=a(x-3)²
8. 某抛物线经过A(-2，0)、B(1，0)、C(0，-4)三点。利用零点条件选择合适形式，求函数表达式；再展开为一般式。
函数值表
9. 下表给出某二次函数的三组对应值。求其表达式，并写出对称轴。x：-1，0，2
y：6，3，3
描点作图区
10. 已知二次函数y=-x²+2x+3。在所给坐标系中标出顶点、与坐标轴的交点并画出示意图；再说明这些图象信息能否反向唯一确定该表达式。
★★★ 拓展延伸
11. 一座小型景观桥拱的轮廓可近似看作抛物线。以桥面中央为原点，桥面为x轴，测得拱顶为(0，4.5)，且拱线经过点(3，2)。(1)建立桥拱高度y与水平位置x之间的函数表达式；(2)求桥拱与桥面的两个交点间的距离；(3)说明你的结果如何用原始测量数据复核。
12. 某抛物线的对称轴为直线x=-1，且经过点(0，2)、(2，10)。(1)用顶点式求函数表达式；(2)若改设一般式，需要把“对称轴为x=-1”翻译成怎样的系数关系？(3)比较两种方法，说明哪一种计算更简洁。
参 考 答 案
第1题：3；y=3(x+3)²+2
【解析】代入(-2，5)：5=a(-2+3)²+2，即5=a+2，所以a=3。再代回该点核验成立。
第2题：4a-2b+c=7
【解析】应先写7=a·(-2)²+b·(-2)+c，再化简为4a-2b+c=7。
第3题：×
【解析】三个条件必须有效且独立。例如三个点横坐标相同就不能同为函数图象上的三个不同点；三点共线时解得a=0，会退化为一次函数。
第4题：b=-2，c=-1；y=2x²-2x-1
【解析】代入(0，-1)，得c=-1。代入(2，3)，得3=8+2b+c。把c=-1代入，得3=7+2b。2b=-4。b=-2。所以y=2x²-2x-1。代入两点复核均成立。
第5题：0；0
【解析】原点(0，0)代入得c=0；点(1，0)代入得a+b+c=0，因此a+b=0。
第6题：×
【解析】对称轴x=2只能确定顶点横坐标，顶点纵坐标未必是0，应设y=a(x-2)²+k。
第7题：B
【解析】顶点(h，k)=(1，-4)，顶点式为y=a(x-1)²-4。A也可能求解，但不是最简洁路径。
第8题：y=2(x+2)(x-1)=2x²+2x-4
【解析】由零点-2和1，设y=a(x+2)(x-1)（a≠0）。代入C(0，-4)，得
-4=a(0+2)(0-1)。-4=-2a。a=2。所以y=2(x+2)(x-1)=2x²+2x-4。代入A、B、C均满足。数学思想：待定系数与转化思想。
第9题：y=x²-2x+3；对称轴为直线x=1
【解析】设y=ax²+bx+c。由x=0，y=3，得c=3。代入(-1，6)，得a-b+3=6，即a-b=3。①
代入(2，3)，得4a+2b+3=3，即2a+b=0。②
由②得b=-2a，代入①得3a=3，所以a=1，b=-2。故y=x²-2x+3，对称轴x=-b/(2a)=1。三组数据代回均正确。
第10题：顶点(1，4)，与x轴交于(-1，0)、(3，0)，与y轴交于(0，3)。这些信息中任取足够的独立条件可唯一确定；例如两个零点加y轴交点即可。
【解析】配方得y=-(x-1)²+4，所以顶点为(1，4)。令y=0，得-(x+1)(x-3)=0，零点为-1、3；令x=0，得y=3。作图应开口向下且关于x=1对称。数学思想：数形结合。
第11题：(1)y=-5/18x²+4.5；(2)两个交点为(-9√5/5，0)、(9√5/5，0)，距离为18√5/5，约8.05；(3)代入x=0得4.5，代入x=3得2，且图象关于y轴对称、开口向下。
【解析】拱顶为(0，4.5)，设y=ax²+4.5（a