初中数学人教版（2024）九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质课时练习

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知识精讲
知识点01 二次函数与之间的相互关系
1．顶点式化成一般式
从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点 ，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式．
2．一般式化成顶点式
．
对照，可知 ， ．
∴ 抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ．
【注意】
1．抛物线的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，可以当作公式加以记忆和运用．
2．求抛物线的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
知识点02 二次函数的图象的画法
1．一般方法
列表、描点、连线
2．简易画法：五点定形法
步骤：
(1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴．
(2)求抛物线与 的交点，
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来．
【注意】
当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，
知识点03 二次函数的图象与性质
1．二次函数图象与性质
2．二次函数图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
知识点04 求二次函数的最大（小）值的方法
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当 时， ．
【注意】
如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么首先要看是否在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x＝x2时，；当x＝x1时，，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x＝x1时，；当x＝x2时，，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察x＝x1，x＝x2，时y值的情况．
能力拓展
考法01 二次函数的图象与性质
【典例1】如图所示是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（ ）
A．③④B．①②C．②③D．②③④
【即学即练】如图，抛物线的对称轴为，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而减小
【典例2】已知4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点可能在（ ）
A．第一或第四象限B．第三或第四象限
C．第一或第二象限D．第二或第三象限
【即学即练】关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，对称轴是轴B．当时，经过坐标原点
C．不论为何值，都过定点D．时，对称轴在轴的左侧
考法02 二次函数的最值
【典例3】已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【即学即练】已知二次函数＝﹣+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4
【典例4】已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＞0时，函数的最小值为﹣3，当x≤0时，函数的最小值为﹣2，则b的值为（ ）
A．6B．2C．﹣2D．﹣3
【即学即练】已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4B．2C．–2D．-4
考法03 二次函数性质的综合应用
【典例5】已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a=．
其中正确的是（ ）
A．①③B．②③C．①④D．①③④
【即学即练】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ）
A．①②④B．①②C．①②③D．①③④
【典例6】已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
【即学即练】如图，已知抛物线与x轴相交于于点，，与轴的交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中，正确结论的序号是________．（所有正确的序号都填上）
分层提分
题组A 基础过关练
1．抛物线经过点（m，3），则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．二次函数（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为（ ）
A．y轴B．直线x＝C．直线x＝1D．直线x＝
3．若二次函数y＝x2+2x+k的图象经过点（1，y1），（﹣2，y2），则y1，y2与的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定
4．已知(﹣4，y1)，(2.5，y2)，(5，y3)是抛物线y＝﹣3x2﹣6x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3
5．已知函数y＝a﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（ ）
A．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小B．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大
C．当a＝1时，函数图像过点（﹣1，1）D．当a＝﹣2时，函数图像与x轴没有交点
6．已知二次函数的图象如图所示，有以下4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．已知二次函数y=x2－4x－m的最小值是1，则m=_______．
8．二次函数的图象过点，，若当时．随着的增大而减小，则实数的取值范围是______．
9．已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
10．已知抛物线．
(1)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当为何值时，函数取得最大值，请求出这个最大值．
题组B 能力提升练
1．将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则、的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．如图是二次函数y＝ax2﹣x＋a2﹣9图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝3B．a＝－3C．a＝－9D．a＝3或a＝﹣3
3．已知二次函数，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的最低点的纵坐标为，则抛物线的表达式是（ ）
A．B．C．D．
5．直线与抛物线在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数（）的部分图象如图所示，图象过点（，0），对称轴为直线，下列结论：（1）； （2）； （3）；（4）若点A（，），点B（，），点C（，）在该函数图象上，则；（5）m为任意实数，则．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
7．已知二次函数，当时，自变量的取值范围是______．
8．如图，抛物线的对称轴为直线，点A，B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点A的坐标为，则点B的坐标为_____．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）．
(1)求此抛物线的解析式和对称轴．
(2)在此抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点．
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围；
题组C 培优拔尖练
1．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
2．若点A（﹣3，），B（1，），C（m，）在抛物线y＝ax2+4ax+c上，且＜＜，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3＜m＜1B．﹣5＜m＜﹣1或﹣3＜m＜1
C．m＜﹣3或m＞1D．﹣5＜m＜﹣3或﹣1＜m＜1
3．二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象如图，下列结论错误的为（ ）
A．b2﹣4ac＞0B．a+b+c＞0
C．ax2+bx+c≥﹣1D．2a﹣b＝0
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A．abc＜0B．a＋b＞m（am＋b）（m≠1）
C．4a﹣2b＋c＜0D．3a＋c＝1
5．二次函数（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
且当时，其对应的函数值．有下列结论：
①；②和3是关于x的方程的两个根；③对称轴为；④；其中，正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3
6．已知抛物线（c为常数）经过点，，，当时，则m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知二次函数，当时，函数的最大值为8，则的值是____．
8．若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是____________．
9．已知抛物线的顶点（0，1）．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，直线交x轴于A，交抛物线于B、C，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，试比较AE•AF与4的大小关系．
(3)如图2，D（0，2），M（1，3），抛物线上是否存在点N，使得取得最小值，若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由．
10．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：
(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
课程标准
（1） 会用描点法画二次函数的图象；会用配方法将二次函数的解析式写成的形式；
（2） 通过图象能熟练地掌握二次函数的性质；
（3）经历探索与的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．
函数
二次函数(a、b、c为常数，a≠0)
图象




开口方向


对称轴


顶点坐标


增减性
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记：
在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 ．简记：
最大(小)值
抛物线有最低点，当时，y有
最 值，
抛物线有最高点，当时，y有
最 值，
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a

开口向上

开口向下
b

对称轴在y轴左侧

对称轴在y轴右侧
c

图象过原点

与y轴正半轴相交

与y轴负半轴相交
b2-4ac

与x轴有唯一交点

与x轴有两个交点

与x轴没有交点
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣4
﹣6
﹣6
﹣4
…
x
…
0
1
2
…
…
t
m
n
…