初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）21.2 二次函数的图象和性质背景图课件ppt

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册（2024）21.2 二次函数的图象和性质背景图课件ppt，共13页。PPT课件主要包含了双击演示操作，yx2，议一议，y-x2，知识要点，yax2，y-ax2，交流讨论，位置开口方向，对称性等内容，欢迎下载使用。
例1 画出二次函数 y = x2 的图象.
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到 y = x2 的图象．
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)；
当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下：
二次函数 y = x2 的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y 轴对称，y 轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点
练一练：画出函数 y = -x2 的图象.
根据你以往学习函数图象的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征，并与同伴交流.
1. y＝x2 是一条抛物线；2. 图象开口向上；3. 图象关于 y 轴对称；4. 顶点 (0，0)；5. 图象有最低点.
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
1. y＝-x2 是一条抛物线；2. 图象开口向下；3. 图象关于 y 轴对称；4. 顶点 (0，0)；5. 图象有最高点．
1. 顶点都在原点；
3. 当 a＞0 时，开口向上； 当 a＜0 时，开口向下.
二次函数 y = ax2 的图象特征：
2. 图象关于 y 轴对称；
观察图象，说说抛物线 y = ax2 与 y = -ax2 (a＞0) 有什么关系.
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称.
问题1：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
对于抛物线 y = ax2 (a＞0)： 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而增大； 当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而减小.
问题2：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
对于抛物线 y = ax2 (a＜0)： 当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而减小； 当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而增大.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图所示.
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
当 a＜0 时，a 越小（即 a 的绝对值越大），开口越小.
对于抛物线 y = ax2 ，| a | 越大，抛物线的开口越小．
开口向上，在 x 轴上方
开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
3. 函数 y = x2 的图象的开口 ，对称轴是 ， 顶点是 ，顶点是抛物线的最 点.
2. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，顶点是抛物线的最 点.
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .
4. 函数 y = -0.2x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .
m + 1＞0， ①
m2 + m = 2， ②
解②得 m1 = -2，m2 = 1.
此时，二次函数为 y = 2x2.
例2 已知二次函数 y = x2.（1）判断点 A (2，4) 是否在该二次函数图象上；
解：当 x = 2 时，y = x2 = 4，所以 A (2，4) 在该二次函数图象上.
（2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标；
解：点 A (2，4) 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为 (2，-4)， 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为 (-2，4).
（3）点 B、C 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数 y = -x2 的图象上吗？
解：当 x = 2 时，y = -x2 = -4， 所以点 B (2，-4) 在二次函数 y = -x2 的图象上； 当 x = -2 时，y = x2 = 4， 所以点 C (-2，4) 在二次函数 y = x2 的图象上.
例3 已知二次函数 y = 2x2.(1) 若点 (－2，y1) 与 (3，y2) 在此二次函数的图象上， 则 y1_____ y2 (填“＞”“＝”或“＜”)；
(2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和．
(2) 解：∵ 二次函数 y＝2x2 的图象经过点 B(2，0)，∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8.∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它们的对称轴，∴ OA＝OB.∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积. ∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数 y＝ax2 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象上的点具有对称性转化到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据对应点的高低去比较函数值的大小；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
1. 函数 y = 2x2 的图象的开口 ，对称轴 ，顶点是 ；在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
2. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 .
3. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
4. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
5. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0)，过点 (-1，2)，则（1）a 的值是 ；（2）对称轴是 ，开口 ；（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点， 抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）；（4）若 A (x1，y1)，B (x2，y2) 在这条抛物线上，且 x1 ＜x2＜0，则 y1 y2.
6. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：二次函数 y = x2 中， 当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0. ∵ 当 x≥m 时，y最小值 = 0， ∴ m≤0．
7. 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出三角形 AOB 的面积．
解：由题意得 解得∴ 两交点坐标为 A (4，16) 和 B (-1，1)．∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4.∴ S△ACO＝ ×4×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2.∴ S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝10.