数学九年级上册（2024）21.1 二次函数精品第1课时同步达标检测题

这是一份数学九年级上册（2024）21.1 二次函数精品第1课时同步达标检测题，文件包含沪科版九年级数学上册_第二十一章_第1课时_二次函数_讲义与练习_教师版docx、沪科版九年级数学上册_第二十一章_第1课时_二次函数_讲义与练习_学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
本课核心问题
怎样从实际数量关系得到二次函数，并用定义准确判断它的形式和取值边界？
一、学习目标
1. 理解二次函数y=ax²+bx+c中a≠0的必要性，能准确辨认二次函数。
2. 能够从简单实际情境中确定变量、列出并化简二次函数表达式。
3. 会根据纯数学表达式或实际情境说明自变量的合理取值范围。
二、重点
• 二次函数的定义及化简后的判定方法。
• 从数量关系建立二次函数模型并说明自变量范围。
三、难点
• 同时把握二次整式、二次项系数不为0和情境约束三个边界。
学习支架
三面围栏模型中的对应关系
二次函数一般式的系数边界
从情境到二次函数的五步检查
1. 确定自变量和函数量
2. 找出数量关系并列式
3. 展开、合并同类项
4. 检查是否为二次整式且二次项系数不为0
5. 回到情境确定取值范围并检验
四、知识要点
1. 从数量变化中发现二次函数
函数先描述“对应”，再描述“形式”。如果在一个变化过程中，给定自变量x的每一个允许值，另一个量y都有唯一确定的值与它对应，那么y是x的函数。实际问题中常出现两个都含x的一次式相乘，或同一个增长因子连续作用两次，展开后便得到关于x的二次整式。以32 m隔离带靠一面墙围成长方形为例，只围另外三边。设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的一边长为(32-2x) m，面积S=x(32-2x)=-2x²+32x。表中每个允许的x都对应唯一的S；式子还说明S是用x的二次整式表示的。这里“唯一对应”说明它是函数，“展开后含非零二次项”才说明它是二次函数，这两个判断不能混为一步。建模时不能直接猜公式。应先说明“谁变化、谁随之变化”，再把每个因式与实际长度对应起来，最后展开验证。遇到连续增长，可写“原量×第一次增长因子×第二次增长因子”；遇到面积变化，可写“新面积-原面积”；遇到两两配对，要检查是否重复计数。不同情境的表面词语不同，但都要用等量关系把函数量表示成自变量的式子。
2. 二次函数的定义与判定
一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数，其中x是自变量。判断时抓住三点：第一，它确实表示y关于x的函数；第二，右边化简后是关于x的整式；第三，最高次数是2，也就是二次项系数a不为0。判定必须“先化简，后对照”。例如y=(x-2)(2x+1)=2x²-3x-2，是二次函数；y=x(x+1)-x²=x，二次项抵消后是一次函数；y=x²+2/x含有自变量在分母中，不是关于x的二次整式。式子y=-5x²中a=-5、b=0、c=0，仍是二次函数，因此不能误认为b、c也必须不为0。二次函数也不要求a为正数：a=-5同样符合a≠0。可以用“三问法”自检：化简了吗？化简后是整式吗？x²的系数不为0吗？三问都得到肯定回答，才能作出二次函数的结论。若式子含参数，如y=(k-2)x²+3x-1，只有当k-2≠0，即k≠2时，它才是二次函数。若二次项系数为0，还应继续查看一次项系数：它可能降为一次函数，也可能继续降为常值函数，因此参数题常需要逐层分类并分别验证。
3. 自变量范围：代数允许还要情境允许
只给出二次函数y=ax²+bx+c而没有其他限制时，自变量的取值范围一般是全体实数。实际问题则必须回到情境：长度应为正，剩余部分不能为负，人数应是整数，增长后的数量也应符合问题设定。这里要区分两层结论：“表达式是二次函数”是代数形式判断，“x能取哪些值”是定义域或情境边界判断，二者要分别回答。在S=x(32-2x)中，两条宽要满足x>0，另一条边要满足32-2x>0，所以00；另一边长也应为正：30-2x>0，解得x0
靠墙矩形菜地示意图
11. 一面直墙外用24 m围栏围成矩形菜地，只围其余三边。设垂直于墙的边长为x m。（1）在图中标出另一条需要围的边长；（2）写出面积S与x的函数表达式；（3）写出x的取值范围。
12. 小航判断“y=x(x+4)+3是二次函数”，却没有写理由。请补全一条可检验的证据链，并指出若把式子改为y=x(x+4)-x²，结论怎样变化。
★★★ 拓展延伸
13. 一块长24 m、宽16 m的矩形空地，四周留出同样宽为x m的步道，中间为矩形草坪。（1）写出草坪面积S与x的函数表达式；（2）说明它为什么是二次函数，并确定x的取值范围；（3）当x=2时求草坪面积，并用原始尺寸复核。
14. 已知y=(p²-4)x²+(p+2)x-1，其中p为常数。（1）p取哪些值时，y是x的二次函数？（2）p取哪些值时，y是x的一次函数？（3）是否存在p使y为常值函数？说明理由。
参 考 答 案
第1题：-4；7；-3
【解析】与y=ax²+bx+c逐项对照，注意二次项系数连同符号一起取。
第2题：√
【解析】二次函数只要求二次项系数a不为0，b、c可以为0。
第3题：×
【解析】化简得y=x²-1-x²=-1，二次项抵消，是常值函数。
第4题：y=2x²+5x-3，是二次函数。
【解析】y=2x²-x+6x-3=2x²+5x-3，a=2≠0。
第5题：D
【解析】A含自变量在分母中；B化简为-4x+1；C化简为4x+2；D中二次项系数-3≠0。
第6题：k≠5
【解析】二次项系数k-5必须不为0，所以k≠5。
第7题：y=(6+x)²-6²=x²+12x，x>0。
【解析】“面积增加量”应为新面积减原面积，而不是直接写新面积。题意为边长增加，所以x>0。
第8题：当x=2时y=3；当x=3时y=6。逐个代入后都符合y=x²-2x+3。
【解析】把每个x代入表达式计算。每个x只有一个y与之对应，且数据体现了同一函数关系。
第9题：（1）Q=m(m-1)/2=(1/2)m²-(1/2)m。（2）二次项系数为1/2≠0，是关于m的二次函数形式。（3）m为不小于2的整数。
【解析】每支队伍与其余m-1支各赛一场，先得到m(m-1)，但每场被重复计算两次，所以除以2。人数型变量不是任意实数。
第10题：B
【解析】连续两次按相同变化率涨价，每次都乘(1+x)，所以y=200(1+x)²。题意明确涨价，故x>0。
第11题：（1）另一条边长为(24-2x) m；（2）S=x(24-2x)=-2x²+24x；（3）00。
第12题：原式化简得y=x²+4x+3，右边是关于x的二次整式，且二次项系数1≠0，所以是二次函数。改式化简得y=4x，二次项抵消，变为一次函数。
【解析】证据链应包含“化简结果—整式次数—二次项系数—结论”，不能只说“有平方”。
第13题：（1）草坪长为(24-2x) m，宽为(16-2x) m，S=(24-2x)(16-2x)=4x²-80x+384。（2）二次项系数4≠0，所以S是x的二次函数；由24-2x>0、16-2x>0且x>0，得0