北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定测试题

这是一份北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定测试题，共17页。试卷主要包含了下列四个命题中，真命题是等内容，欢迎下载使用。

1．矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分B．邻角互补
C．对边相等D．对角线相等
2．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（ ）
A．4B．4C．3D．5
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝5，对角线AC的长度为（ ）
A．12B．6.5C．13D．10
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6，点E为BC上的一点，ED平分∠AEC，则BE的长为（ ）
A．10B．8C．6D．4
5．下列四个命题中，真命题是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D．对称轴互相垂直的四边形是矩形
6．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为正确的是（ ）
A．甲量得窗框两组对边分别相等
B．乙量得窗框对角线相等
C．丙量得窗框的一组邻边相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等
7．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB＝CDB．AC＝BDC．AB＝BCD．AD＝BC
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为（ ）
A．8B．9C．10D．12
二．填空题（共6小题）
12．如图，在▱ABCD中，再添加一个条件 （写出一个即可），▱ABCD是矩形（图形中不再添加辅助线）．
13．如图，在平行四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则四边形ABCD是 ．
14．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，则∠ADC的度数是 ．
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，BD＝4，则AC＝ ．
16．在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC＝6，∠AOB＝60°，则AB的长为 ．
17．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是40厘米，矩形的周长是22厘米，则对角线AC的长为 厘米．
三．解答题（共7小题）
18．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE＝DF．
19．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形．
20．如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接DE、BF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．
21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：▱ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）
（1）当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；
（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．
23．如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．
（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．
（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．
24．如图，在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，OA＝8，OC＝6，过点D（0，6）作y轴的垂线交OA于点E，点B恰在这条直线上．
（1）求矩形OABC的对角线的长；
（2）求点B的坐标；
（3）求△EOB的面积．
详解
一．选择题（共11小题）
1．解：A、平行四边形与矩形都具有两条对角线互相平分的性质，故A不符合题意；
B、平行四边形与矩形都不具有邻角互补的性质，故B不符合题意；
C、平行四边形与矩形都具有两组对边分别相等的性质，故C不符合题意；
D、平行四边形的两条对角线不相等，矩形具有两条对角线相等的性质，故D符合题意．
故选：D．
2．解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，
即△OAB为等腰三角形，
又∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形．
故AB＝BO＝4，
∴DC＝AB＝4．
故选：B．
3．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝12，
∵AD＝5，
∴在Rt△ADC中，
AC＝＝＝＝13，
故选：C．
4．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC＝∠ADE，
又∵∠DEC＝∠AED，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝10，
在直角△ABE中，BE＝＝8．
故选：B．
5．解：对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形判定定理，是真命题，故A符合题意；
对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故B不符合题意；
以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，以一条对角线为对称轴的四边形是菱形是假命题，故C不符合题意；
对称轴互相垂直的四边形是矩形是假命题，故D不符合题意，
故选：A．
6．解：A、两组对边相等可以为正方形，平行四边形，菱形，矩形等，所以甲错误；
B、对角线相等的图形有正方形，菱形，矩形等，所以乙错误；
C、邻边相等的图形有正方形，菱形，所以丙错误；
D、根据矩形的判定（矩形的对角线平分且相等），故D正确．
故选：D．
7．解：可添加AC＝BD，
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，根据矩形判定定理对角线相等的平行四边形是矩形，
∴四边形ABCD是矩形．
故选：B．
8．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°,
∵E是AB的中点,AB＝4，
∴CE＝BE＝,
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB,
∴DE＝BD＝,
故选：A．
9．解：∵直角三角形斜边长为10，
∴斜边上的中线长为5．
故选：D．
10．解：设Rt△ABC的斜边BC上的高为h．
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴h＝＝，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝EF＝AP．
因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即等于，
∴AM的最小值是．
故选：D．
11．解：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，
∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10，
∴平行四边形OCED为矩形，
∴OE＝CD＝10，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
12．解：添加的条件是AC＝BD，
理由是：∵AC＝BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：AC＝BD
13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，
∵∠1＝∠2，
∴BO＝CO，
∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为矩形．
14．解：∵CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，
∴DC＝DB，
∴∠DCB＝∠ABC＝25°，
∴∠ADC＝∠DCB+∠ABC＝50°，
故答案是：50°．
15．解：∵AD＝DC，
∴D为AC边上的中点，
在△ABC中，∠ABC＝90°，BD＝4，
∴AC＝2BD＝8．
故答案为8．
16．解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝BD＝AC＝3，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴BO＝AB＝3，
故答案为3．
17．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AC＝BF，AO＝OC，OD＝OB，
∴AO＝OC＝OD＝OB，
∵矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是40厘米，
∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB＝40厘米，
即8OA+2AB+2BC＝40厘米，
∵矩形ABCD的周长是22厘米，
∴2AB+2BC＝22厘米，
∴8OA＝18厘米，
∴OA＝2.25厘米，
即AC＝BD＝2OA＝4.5厘米．
故答案为：4.5．
三．解答题（共7小题）
18．证明：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝OB＝OD，
∵AE⊥BD，DF⊥AC，
∴∠AEO＝∠DFO＝90°，
在△AOE和△DOF中，
，
∴△AOE≌△DOF（AAS），
∴AE＝DF．
19．解：结论：四边形EFGH是矩形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，
∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，
∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，
∴∠H＝90°，
同理∠HEF＝∠F＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．
20．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
（2）四边形BEDF是平行四边形．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
21．解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝30°，
∴∠BAD＝30°+60°＝90°
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝AB＝4
∴▱ABCD的面积＝4×4＝16
22．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，
由题意得，DP＝4，AQ＝2，
则QH＝2，又PH＝AD＝6，
由勾股定理的，PQ＝＝＝2，
故答案为：2；
（2）当PQ＝PB时，
如图，QH＝BH，
则t+2t＝8，
解得，t＝；
（3）当PQ＝BQ时，
（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，
解得，t＝．
23．（1）解：相等；理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE＝∠BCE，
∴∠OEC＝∠OCE，
∴OE＝OC，
同理OF＝OC，
∴OE＝OF．
（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE＝OF＝OC＝OA，
∴AC＝EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
24．解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴AB＝OC＝6，∠A＝90°，
∴OB＝＝＝10，
即矩形OABC的对角线的长为10；
（2）∵BD⊥OD，
∴∠ODB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∴点B的坐标为（8，6）；
（3）∵OD＝6，AB＝6，
∴OD＝AB，
在Rt△OBD和Rt△BOA中，，
∴Rt△OBD≌Rt△BOA（HL），
∴∠OBD＝∠BOA，
∴OE＝BE，
设OE＝BE＝x，则DE＝8﹣x，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，即BE＝，
∴△EOB的面积＝BE•OD＝××6＝．