初中北师大版（2024）第三章 图形的相似4 相似三角形的性质优质第1课时学案

这是一份初中北师大版（2024）第三章 图形的相似4 相似三角形的性质优质第1课时学案，共6页。学案主要包含了学习目标，复习导入，情境导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
【学习目标】
1.理解并掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比的性质．
2.通过观察、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑推理能力和探究精神．
3.体会从特殊到一般的数学思想方法，感受数学知识的内在联系．
学习重点：相似三角形对应线段比与相似比的关系的探究与应用.
学习难点：综合运用相似三角形的性质与判定解决实际问题.
【复习导入】
思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何元素？
【情境导入】
如图，小王依据图纸上的 △ABC，以 1 : 2 的比例建造了模型房的房梁 △A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. 如果 CD = 1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？


【合作探究】
探究点：相似三角形中的对应线段之比
[思考·交流]
(1) 如图，已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C' 的相似比为 3，那么这两个三角形的两条中线 AD，A'D' 有怎样的关系？你还能提出类似的问题吗？与同伴进行交流.



(2) 如果两个三角形相似，那么它们对应高的比是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请说明你的理由.
如图，已知∆ABC∼∆A'B'C'，AD，A'D'分别为对应边BC，B'C'上的高，ABA'B'=BCB'C'=CAC'A'=k。那么ADA'D'=k 吗？

已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应角的角平分线，求证：

已知△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应边上的中线，求证：

[归纳总结]
[典例精析]
例1 如图，AB∥PQ，AB=100，PQ=120. 点P，A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上. 若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离.

练一练
△ABC∽△A1B1C1，BD 和 B1D1 是它们的中线，已知，B1D1 = 4 cm，
则BD = cm.
2. △ABC∽△A1B1C1，AD和A1D1是BC和B1C1边上的高，已知AB = 8 cm，A1B1 = 3 cm，则△ABC与△A1B1C1的对应高之比为 .
议一议
如图，已知 △ABC ∽ △A'B'C'，△ABC 与 △A'B'C' 的相似比为 k；点 D，E 在 BC 边上，点 D'，E' 在 B'C' 边上.
若∠BAD = eq \f(1,3)∠BAC，∠B'A'D' = eq \f(1,3)∠B'A'C'，则等于多少？
若 BE = eq \f(1,3) BC，B'E' = eq \f(1,3) B'C'，则等于多少？
(3) 你还能提出哪些问题？与同伴交流.
[典例精析]
例1 如图，AD是△ABC的高，AD = H，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.当SR = eq \f(1,2) BC 时，求DE的长. 如果SR = eq \f(1,3) BC 呢？


当堂反馈
1.已知△ABC∽△A'B'C'，ABA'B'＝23，AB边上的中线CD＝4cm，则A'B'边上的中线C'D'的长为 cm.
2.已知△ABC∽△A'B'C'，AD是△ABC的中线，A'D'是△A'B'C'的中线.若ADA'D'＝12，且△A'B'C'的高A'E'为20cm，则△ABC的高AE为 cm.
3.两个相似三角形的两条对应边的长分别是3cm和2cm，如果它们对应的两条角平分线的和为15cm，那么这两条角平分线的长分别是 .
4.已知△ABC∽△DEF，AB＝5cm，DE＝2.5cm，BC＝8cm，DF＝5cm.
(1)求△ABC和△DEF的相似比；
(2)若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG∶DH；
(3)若△ABC中∠C的平分线长为a，求△DEF中∠F的平分线长.
5.如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，AH交DE于点G.已知DE＝10，BC＝15，AG＝12，求GH的长.
参考答案
【情境导入】
解：∵∆ABC∼∆A'B'C'，∴∠A=∠A'，ACA'C'=12。
又∠ADC=∠A'D'C'=90°. ∴∆ACD∼∆A'C'D'。∴ACA'C'=CDC'D'=12。
∵CD=1.5 cm，∴C'D'=3 cm
【合作探究】
探究点：相似三角形中的对应线段之比
[思考·交流]
(1) 解：∵∆ABC∼∆A'B'C'，
∴∠B=∠B'，ABA'B'=BCB'C'=3.
∵AD，A'D' 是 ∆ABC 与 ∆A'B'C' 的两条中线，
∴BC=2BD，B'C'=2B'D'. ∴ABA'B'=BDB'D'=3.
∴∆ACD∼∆A'C'D'. ∴ADA'D'=3.
(2) 高：
解：如图，分别作出 ∆ABC 和 ∆A'B'C' 的高 AD 和 A'D'，则∠ADB=∠A'D'B'=90°。
∵∆ABC∼∆A'B'C'，∴∠B=∠B'。
∴∆ABD∼∆A'B'D'。∴A'D'AD=A'B'AB=k。
中线：
证明：∵∆ABC∼∆A'B'C'，
∴∠A'B'C'=∠ABC，ABA'B'=BCB'C'．
又 ∵AD，A'D' 分别为对应边的中线，
∴BC=2BD，B'C'=2B'D'．∴ ABA'B'=BDB'D'．
∴∆ABD∼∆A'B'D'．∴ ADA'D'=ABA'B'=k．
角平分线:
证明：∵∆ABC∼∆A'B'C'，
∴∠A'B'C'=∠ABC，∠B'A'C'=∠BAC。
又∵AD、AD'分别为对应角的角平分线，
∴∠ABE=∠A'B'E'。
∴∆ABE∼∆A'B'E'。∴BEB'E'=k。
例1
解 因为AB∥PQ，所以∆CAB∼∆CPQ.
如图，过点C作CD⊥PQ，垂足为点D.
设CD交AB的延长线于点E，
因此CE⊥AB，DE=40.
由 “相似三角形对应高的比等于相似比” 可得 ABPQ=CECD=CD−DECD.
又 AB=100，PQ=120，DE=40，
于是 100120=CD−40CD，因此 CD=240.
即点 C 到直线 PQ 的距离是 240.
练一练 1. 6 2. 2 : 3
[操作·思考]
证明：∵∆ABC∼∆A'B'C'，
∴∠B=∠B'， ∠BAC=∠B'A'C'.
∵∠BAD=∠BAC， ∠B'A'D'=∠B'A'C'，
∴∠BAD=∠B'A'D'. ∴∆ABD∼∆A'B'D'.
∴ADA'D'=ABA'B'=k
例2
解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，∴SR∥BC
∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C。
∴∆ASR∼∆ABC （两角分别相等的两个三角形相似）
∴AEAD=SRBC （相似三角形对应高的比等于相似比）.即 AD−DEAD=SRBC .
∴ 当 SR=12BC 时，得 h−DEh=12 . 解得 DE=12h .
∴ 当 SR=13BC 时，得 h−DEh=13 .解得 DE=23h .
当堂反馈
1. 6 . 2. 10 . 3. 9cm，6cm .
4.解：(1)△ABC和△DEF的相似比为AB∶DE＝5∶2.5＝2.
(2)AG∶DH＝2∶1.
(3)△DEF中∠F的平分线长为12a.
5.解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴△ADE∽△ABC.
又∵AH⊥BC，DE∥BC，
∴AH⊥DE，
即AH，AG分别为△ABC，△ADE的高.
∴AGAH＝DEBC，即12AH＝1015.
∴AH＝18.
∴GH＝AH－AG＝18－12＝6.