初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 相似三角形判定定理的证明优秀第2课时学案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）3 相似三角形判定定理的证明优秀第2课时学案学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 相似三角形判定定理的证明
【学习目标】
1.了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力，会证明相似三角形判定定理．
2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动，使学生获得数学猜想经验，激发学生探索知识的兴趣．
学习重点：掌握相似三角形的三个判定定理
学习难点：证明过程中辅助线的添加.
【复习导入】
问题：相似三角形的判定方法有哪些？

【合作探究】
探究点1：证明相似三角形的判定定理
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明．
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B =∠B'.
求证：△ABC∽△A'B'C'．
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图，在 △ABC与△A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′， 求证：△ABC∽△A′B′C′.

定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，.
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
探究点2：相似三角形判定定理的运用
[典例精析]
例1 如图，∠ABD =∠C，AD = 2，AC = 8，求AB.
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．
练一练
1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；
(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；
(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .

当堂反馈
1.如图，给出以下条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ACCD＝ABBC；④AC2＝AD·AB.其中能判定△ABC∽△ACD的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.已知△ABC的三边长为1，3，2，在下列给定条件中，△DEF与△ABC不一定相似的是( )
A.DE＝2，EF＝4，DF＝23
B.∠D＝30°，∠E＝90°
C.DE＝2，EF＝4，∠E＝60°
D.DE＝2，EF＝23，∠F＝30°
3.如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是( )
A.①和③B.②和③
C.②和④D.①和④
4.如图，AB，CD相交于点O，试添加一个条件使得△AOD∽△COB，你添加的条件
是 (只需写一个).
5.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1)∠A＝35°，∠B'＝55°： ；
(2)AC＝3，BC＝4，A'C'＝6，B'C'＝8： ；
(3)AB＝10，AC＝8，A'B'＝25，B'C'＝10： .
6.如图，在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCDE＝ACAE.求证：
(1)∠BAD＝∠CAE.
(2)△BAD∽△CAE.

7.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，连接BD，CE，DE，且∠BEC＝∠CDB.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若AEAC＝23，求DEBC的值.
参考答案
【合作探究】
探究点1：证明相似三角形的判定定理
定理1：
证明：在 ∆ABC 的边 AB （或它的延长线） 上截取 AD=A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则 ∠1=∠B，∠2=∠C，ADAB=AEAC.（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 ADAB=CFCB （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.
∴ AEAC=CFCB.∵DE∥BC，DF∥AC，
∴ 四边形 DFCE 是平行四边形.
∴DE=CF. ∴AEAC=DECB. ∴ADAB=AEAC=DEBC.
而 ∠1=∠B，∠DAE=∠BAC，∠2=∠C，
∴∆ADE∼∆ABC.
∵∠A=∠A'，∠ADE=∠B=∠B'，
AD=A'B'，
∴∆ADE≅∆A'B'C'.∴∆ABC∼∆A'B'C'.
定理2：
证明：在∆ABC的边AB （或它的延长线）上截取AD=A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，
则∠B=∠ADE，∠C=∠AED，
∴∆ABC∼∆ADE （两角分别相等的两个三角形相似）.
∴ ABAD=ACAE.∵ ABA'B'=ACA'C'， AD=A'B'，
∴ ABAD=ACA'C'. ∴ ACAE=ACA'C'.
∴ AE=A'C'.而 ∠A=∠A'，
∴ ∆ADE≅∆A'B'C'.∴ ∆ABC∼∆A'B'C'.
定理3：
证明：在 ∆ABC 的边 AB，AC （或它们的延长线），
上分别截取 AD=A'B'，AE=A'C'，连接 DE。
∵ABA'B'=ACA'C'，AD=A'B'，AE=A'C'，
∴ABAD=ACAE。而 ∠BAC=∠DAE。
∴∆ABC∼∆ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∴ABAD=BCDE。又ABA'B'=BCB'C'，AD=A'B'，
∴ ABAD=BCB'C'.∴ BCDE=BCB'C'.
∴ DE=B'C'.∴ ∆ADE≅∆A'B'C'，∴ ∆ABC∼∆A'B'C' .
例1解：∵∠A=∠A，∠ABD=∠C，
∴∆ABD∼∆ACB。
∴AB:AC=AD:AB。
∴AB2=AD·AC。
∵AD=2，AC=8，
∴AB=4。
例2
解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=2
∴AC=AD2+CD2=22+22=6
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
① 当 Rt∆ABC∼Rt∆ACD 时，有 AC:AD=AB:AC，
即 6:2=AB:6 ，解得 AB=3；
② 当 Rt∆ACB∼Rt∆CDA 时，有 AC:CD=AB:AC ，
即 6:2=AB:6 ，解得 AB=32；
∴ 当 AB 的长为 3 或 32 时，
这两个直角三角形相似．
练一练
(1) 相似 (21) 相似 (3) 相似
当堂反馈
1. C 2. D 3. A 4. ∠A＝∠C(答案不唯一)
5.(1) 相似 ；
(2) 相似 ；
(3) 不相似 .
6.证明：(1)在△ABC和△ADE中，ABAD＝BCDE＝ACAE，
∴△ABC∽△ADE.∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE.
(2)∵ABAD＝ACAE，即ABAC＝ADAE，
又∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE.
7.(1)证明：∵∠AEC＋∠BEC＝180°，∠ADB＋∠CDB＝180°，且∠BEC＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠AEC.
∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE.
(2)解：∵△ABD∽△ACE，
∴ADAE＝ABAC.∴ADAB＝AEAC.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝AEAC＝23，即DEBC的值为23.