人教A版 (2019)必修 第一册正弦函数、余弦函数的性质习题

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1.把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数的解析式为__________.
2. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求点到轴的距离的最大值.
3.已知函数图象的一部分如图所示，则此函数的最小正周期是 .
4.函数的最小正周期是_________，最小值是_________.
类型一：平移、伸缩变换错误
【错因解读】学生对三角函数图象的平移变换的规律认知不清.平移和伸缩变换是针对而言的，在本题中，向右平移个单位长度即把变为，图象上各点的横坐标缩短为原来的倍即把变为.
【典例引导】把函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，所得函数的解析式为__________.
【错误解法】
将函数的图象向右移个单位得到的图象，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍得.
【正确解法】将原函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.
【补救措施】此类问题的解决，应按三角函数图象平移、伸缩变换的要求，按部就班，但要弄清变换对象，平移方向及伸缩幅度.
总结：函数图象左右平移遵循＂左加右减＂，且针对的是，由变为，是纵坐标不变，横坐标伸缩为原来的得到的.
【再练一个】（2027届吉林长春高一下期期中）
1．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位
类型二：不会构建正弦型三角函数模型
【错因解读】许多学生不会利用正弦型三角函数解决实际问题，不会根据题意将三角函数运用到几何，物理与生活中.
【典例引导】水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过.秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，）.
（1）求函数的解析式；
（2）当时，求点到轴的距离的最大值.
【错误解法】（1）由题意，，则，
由题意，即，
则.
.
（2）由（1）知，
当时，
，故，
点到轴的距离的最大值为6.
【正确解法】（1）由题意，，则，
由题意，即，
又，则.
.
（2）由（1）知，
当时，，
，故，
点到轴的距离的最大值为6.
【补救措施】本题错误在于不会利用题目所给条件正确构建正弦型三角函数模型.
总结：解决实际问题时，需要考虑参数的取值范围，验证结果是否符合实际情况.
【再练一个】（2027届广东广州高一下期期末）
2．如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（ ）
A．
B．
C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点
D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒
类型三：不会求、与的值或不会利用正弦型三角函数的几何特征
【错因解读】不了解、与的几何意义，不熟悉正弦型三角函数的几何特征.
【典例引导】已知函数图象的一部分如图所示，则此函数的最小正周期是 .
【错误解法】由题意，
由函数的最高点的纵坐标可得.
将点代入中得，，即，
因为，所以.
又因为是函数的一个零点，且是图象递增由负到正穿过轴形成的零点
所以，解得，所以函数的最小正周期是.
故答案为：.
【正确解法】由题意，
由函数的最高点的纵坐标可得.
将点代入中得，，即，
因为，所以.
又因为是函数的一个零点，且是图象递增由负到正穿过轴形成的零点
所以，解得，所以函数的最小正周期是.
故答案为：
【补救措施】本题的错误在于没有搞懂ω的值求解过程中应该等于谁.
总结：
1.中的应该与标准正弦函数的有相同意义，即的值或单调区间在图象可以看做是标准正弦函数所代表的点和单调区间；
2.相邻的最高点与最低点的横坐标之间的距离为；
3.相邻的两个最高点（或最低点）的横坐标之间的距离为，再根据确定。
【再练一个】（2027届四川乐山高一下期末）
3．函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（ ）
A．B．C．D．
类型四：忽略将函数转化为的形式
【错因解读】不会化简三角函数的解析式，不会计算三角函数最小正周期，未注意特殊值法以及定义法的应用.
【典例引导】函数的最小正周期是_________，最小值是_________.
【错误解法】，
∴最小正周期是.当时，取得最小值1.
【正确解法】
，最小正周期，最小值为.
【补救措施】研究三角函数的性质时，需要将函数转化为，再研究性质，错解没有转化，只是凭主观判断.
【再练一个】（2027届江西上饶高一下期期末）
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
（易错点：平移、伸缩变换错误）（2027届江西萍乡高一下期期中）
5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上各点（ ）
A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度
（易错点：不会求、与的值或不会利用正弦型三角函数的几何特征）（2027届北京海淀高一下期期中）
6．已知函数（，），甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
甲：函数的图象关于对称；
乙：函数在上单调递增；
丙：函数在区间上有3个零点；
丁：函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称．
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
（易错点：不会构建正弦型三角函数模型）
7．近日重庆气温波动较大， 假设渝中区某天时的温度变化近似满足函数 ，已知8时气温最低，为10度，14时气温最高，为20度，则的解析式可以是 （ ）
A．
B．
C．
D．
（易错点：不会构建正弦型三角函数模型）（2027届贵州安顺高一下期期末）
8．某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为 ．
（易错点：忽略将函数转化为的形式）
9．已知．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值．
《5.5 正弦型三角函数【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案：
1．A
【分析】利用诱导公式结合三角函数图象变换可得出结论.
【详解】因为，
所以，为了得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度.
故选：A.
2．D
【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D.
【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为，
对于A，依题意，，则，A错误；
对于B，由时，得，即，而，则，B错误；
对于C，，令，得，
解得，则，解得，
即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误；
对于D，由，得，即，
则，解得，
所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确.
故选：D
3．D
【分析】由题意先确定函数的最小正周期，即可求出，利用点的坐标可求出，即可得答案.
【详解】由题意函数的图象的一个最高点坐标为，
相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为，
故，且，
即，将代入得，即，
则，即，结合选项可知，
故选：D
4．B
【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可.
【详解】因为，所以
.
故选：B
5．C
【分析】运用函数图象平移规律“左加右减”即可解决.
【详解】因为，
所以只需将函数的图象上各点向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.
故选：C
6．C
【分析】
对每位同学的结论进行推敲，求出对应的的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果.
【详解】设函数的最小正周期为.
对于甲：因为函数的图象关于对称，则；
对于乙：因为函数在上单调递增，
则，可得，又，
所以，，，则；
对于丙：因为函数在区间上有3个零点，则，可得，
所以，；
对于丁：因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称.
则，即，
所以，满足条件.
故丙的结论错误，此时，，则，
因为，故，所以，，
且当时，，即函数在上单调递增，
乙同学的结论正确.
故选：C.
7．A
【分析】首先求出、，根据周期求出，再由求出，即可得解.
【详解】依题意，解得，
又，所以，所以，
所以，又，
所以，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：A
8．
【分析】整理可得，分析可知最大温差为，由题意得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】因为，
且的最小正周期为，即正好为一个满周期，
可知的最大值为，最小值为，
所以最大温差为，
由题意得，即
又因为为正实数，
则，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
9．(1)单调递增区间为，
(2)的最大值为，的最小值为
【分析】（1）通过降幂扩角公式及辅助角公式，把函数化成的形式，然后利用正弦函数的单调增区间求解即可；
（2）由所给区间推出的范围，然后利用正弦函数的图像性质确定最值.
【详解】（1），
由，得，
所以的单调递增区间为，；
（2）由（1）知，
因为，则，
有，即．
所以，的最大值为，的最小值为．