人教A版 (2019)必修 第一册正弦函数、余弦函数的性质教案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册正弦函数、余弦函数的性质教案，共4页。
问题1：某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置C，量出C到山脚A，B的距离，再利用经纬仪测出C对山脚AB（即线段AB）的张角，最后通过计算求出山脚AB的长度.
C
A
B
图1
追问1：你能把这个实际问题转化为数学问题吗？
答：相当于是，在△ABC中，已知两边BC,AC的长度，及其它们的夹角∠C，求三角形的另外一边AB的长度.
追问2：根据已知的条件所确定的三角形是唯一的吗？
答：对于一般三角形，我们初中已经定性地研究过三角形的边、角系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.现在已知三角形的两边及其夹角，三角形是唯一确定的，BC的长度也是唯一确定的.
（二）课堂探究
C
A
B
B
C
B
B
A
图2
图3
问题2：在△ABC中，当∠C=90°时，有c2=a2+b2 若a，b边的长短不变，变换∠C的大小时，c2与a2+b2有什么大小关系呢？请大家思考.
答：如图2，若∠C＜90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变短，即c2＜a2+b2.
如图3，若∠C＞90°时，由于AC与BC的长度不变，所以AB的长度变长，即c2＞a2+b2.
可以得到∠C≠90°时，c2≠a2+b2.
问题3：通过前面的研究我们知道，当∠C≠90°时，c2≠a2+b2.那么c2与a2+b2到底有怎样的关系呢？怎样用a，b和C表示c？请大家继续前面的研究.
C
A
B
图4
追问1：当∠C为锐角时，如何用a，b和C表示c？
答：过B作BD垂直AC于D，则有AB2=AD2+BD2
在RT△BCD中，CD=BC⋅csC，AD=AC-BC⋅csC
BD=BC⋅sinC
那么AB2=AD2+BD2
即AB2=（AC-BC⋅csC）2+（BC⋅sinC）2
有c2=（b-a cs C）2+（a sin C）2
=b2-2abcsC+a2 cs 2C +a2 sin 2C
= b2-2ab cs C+ a2（cs 2C +sin 2C）
= a2+b2-2ab cs C
C
B
A
D
C
A
B
图5
可以得到当∠C为锐角时，c2= a2+b2-2ab cs C
追问2：当∠C为钝角时，上述结论还成立吗？
答：过B作BD垂直AC延长线于D，则有AB2=AD2+BD2
在RT△BCD中，CD=BC⋅cs（π- C），AD=AC+BC⋅cs（π- C）
图6
BD=BC⋅sin（π- C）
那么AB2=AD2+BD2
D
C
B
A
即AB2=[AC+BC⋅ cs（π- C）]2+[BC⋅sin（π- C）]2
用诱导公式化简后同样得到：
c2=（b-a cs C）2+（a sin C）2= a2+b2-2ab cs C
所以当∠C为钝角时，c2= a2+b2-2ab cs C 也成立.
图7
追问3：你能用向量的方法证明上述结论吗？
答:设CB=a，CA=b，AB=c
那么c=a-b，
图8
根据向量的运算性质，我们有
c2=c⋅c=（a-b）⋅（a-b）
= a2+b2-2a⋅b
= a2+b2-2ab cs C
所以c2= a2+b2-2abcs C
追问4：对比两种证明方法你有什么样的感受？
答:我们应用向量的数量积很简单的作出了证明，可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用.
追问5：类比以上的结论你还能得到怎样的结论？
答：对于任意三角形都有c2= a2+b2-2ab cs C
同理可以得到b2= c2+a2 -2ca cs B和a2= b2+c2-2bc cs A
结论：余弦定理（law f csines）三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2= b2+c2-2bc cs A，b2= c2+a2 -2ca cs B，c2= a2+b2-2ab cs C
追问6：余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
答：我们可以得到如下推论
cs A= b2+c2-a22bc, cs B= c2+a2-b22ca, cs C= a2+b2-c22ab
追问7：余弦定理及其推论把初中哪些结论从定性的结论变成了可定量计算得公式？
答:余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
追问8：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？
答: 如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时cs C=0，由余弦定理可得c2= a2+b2，这就是勾股定理，由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形（slving triangles）.
知识应用
例1 在△ABC中，已知a=3，b=5，C=120°，求c．
解：由余弦定理可得，c2=a2+b2-2abcsC=9+25-2×3×5×(-12)=49，∴c=7
例2 在△ABC中，已知a=23，b=6，c=3+3，解此三角形．
解：由余弦定理的推论得cs A=b2+c2-a22bc=(6)2+(3+3)2-(23)22×6×(3+3)=22，
∴A=45°，同理可求B=30°，
故C=180°-A-B=180°-45°-30°=105°．
例3 在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a，b，c，已知a=13，c=15，A=π3，求b．
解：由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccsA
∴169=b2+225-2×15b×12，
整理可得b2-15b+56=0
解得b=8，或b=7，
当b=7时，csC=a2+b2-c22ab=132+72-1522×13×7