人教A版 (2019)必修 第一册幂函数练习

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1．下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知幂函数，若，则的取值范围是 ．
3．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围.
4．如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ．
类型一： 幂函数的定义不清
【错因解读】不会判断函数是否属于幂函数或不会应用幂函数的定义求参数.
【典例引导】下列函数中，属于幂函数的是（）
A. B. C. D.
【错误解法】由幂函数的定义，D选项正确.
故选：D.
【正确解法】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，
对比选项仅有B：符合要求.
故选：B.
【补救措施】正确了解幂函数的定义.
总结：对于幂函数问题，要把握住幂函数的定义.掌握幂函数的特征：同时满足以下三个条件才是幂函数：①的系数为1；②的底数是自变量；③指数为常数.
【再练一个】
6．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
类型二：忽视幂函数的定义域或不会求幂函数定义域
【错因解读】在不等式与方程问题中，幂函数的定义域往往被忽视，且在求幂函数定义域问题中，不少同学没有掌握技巧从而无法求解.
【典例引导】已知幂函数，若，则的取值范围是 .
【错误解法】在上单调递增，
∴
可得：，
解得：
【正确解法】因为的定义域为，且在上单调递增，
所以由可得：，
解得：
故答案为：.
【补救措施】解决有关幂函数的不等式问题时要注意幂函数的定义域，避免因忽视定义域致错.解决求幂函数的定义域问题时要注意分类讨论与合理性讨论，避免遗漏情况致误.
【再练一个】
7．幂函数中的取值为集合中的元素，当幂函数的值域与定义域相同时，实数的取值为（ ）
A．B．0C．D．2
类型三：幂函数性质应用错误
【错因解读】认为函数在 和 上为减/增函数，则函数必在定义域内是减/增函数，从而误用性质产生错误；或解题时忘记分类讨论；幂函数的性质不清导致应用出错.
【典例引导】已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，求满足的的取值范围.
【错误解法】由于是上的减函数，故有.
解得.
【正确解法】函数在上单调递减，
，解得.
.
又函数图象关于轴对称，
是偶数.
而当时，为奇数，
当时，为偶数，.
而在上均为减函数，
等价于
或或.
解得或.
故的取值范围为或.
【补救措施】解决本题的关键是根据函数的奇偶性求出的值后，依据幂函数的性质和图象建立关于的不等式组.
总结：由幂函数的图象可知，函数在整个定义域内图象整体不呈下降（上升）趋势，故函数只能说在两个定义域的子集上分别为减（增）函数，另外在分类讨论时，要做到不重不漏，定义/概念的不等式容易被忽略，应引起注意.
【再练一个】（2027届高一贵州毕节适应性考试）
8．已知幂函数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．在上单调递减B．的图象关于轴对称
C．的图象过点D．
类型四：幂函数的图像问题
【错因解读】幂函数图像的特征与特殊点不清，不会利用幂函数的图像比较大小或不会识别幂函数的图像.
【典例引导】如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（）
A. B.
C. D.
【错误解法】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断，由题意结合图象可知.
故选：C.
【正确解法】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断，由题意结合图象可知.
故选：B.
【补救措施】总结：在幂函数比较大小问题中，要把握住幂函数的性质，进行比较大小.所有幂函数在上都有定义，并且图象都经过点.如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数：如果，则幂函数的图象在上为减函数.
【再练一个】
9．如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（ ）
A．B．
C．D．
类型五：幂函数的分类讨论问题
【错因解读】在解决幂函数的问题时，很多时候需要分类讨论，此时就需要结合幂函数的单调性与定义进行求解，同时需要合理运用绝对值与不等式的相关知识进行求解.
【典例引导】已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 .
【错误解法】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
，在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
解得，
的解集为.
【正确解法】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
，在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
两边取平方可得：，
整理得，解得，
的解集为.
【补救措施】解绝对值不等式时不能直接去掉绝对值符号，当有多个解时应分别验证各个解是否符合题意与幂函数的定义.
【再练一个】（2027届河南郑州高一下期开学考试）
10．已知，若幂函数的图象关于轴对称，且与轴及轴均无交点，则的值为 ．
（易错点：幂函数的定义不清）
11．下列函数既是幂函数，又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
（易错点：幂函数的图像问题）
12．函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
（易错点：幂函数性质应用错误）
13．已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为B．的值域为
C．为偶函数D．是其定义域上的减函数
（易错点：幂函数的分类讨论问题）（2027届重庆高一上期期中）
14．已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ）
A．或B．
C．D．
（易错点：忽视幂函数的定义域或不会求幂函数定义域）（2027届江苏无锡高一上期期末）
15．已知幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，若，则实数a的取值范围是 .
《3.3 幂函数【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案：
1．B
【分析】由幂函数的定义即可求解.
【详解】形如（α为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，
对比选项仅有B：符合要求.
故选：B.
2．
【分析】由幂函数的性质可得，解方程即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，且在上单调递增，
所以由可得：，
解得：
故答案为：.
3．或
【分析】由幂函数在上单调递减，可得且，可得m的值为1或2，再结合图象关于轴对称确定函数解析式，最后结合幂函数的单调性解出不等式求出a的取值范围即可.
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以，当时，，当时，，
因为函数图像关于轴对称，所以是偶数，解得；
则为，
由幂函数性质得在上均为减函数，
故等价于或或，
解得或，得到的取值范围为或.
4．B
【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断.
【详解】由题意结合图象可知.
故选：B.
5．
【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可.
【详解】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
,在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
两边取平方可得：，
整理的，解得，
的解集为.
故答案为：.
6．A
【分析】利用幂函数及函数的奇偶性的定义，结合各选项进行判断即可.
【详解】对于A，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是奇函数，符合题意；故A正确；
对于B，由幂函数的定义知是幂函数，由题意可知的定义域为,，所以是偶函数，不符合题意；故B错误；
对于C，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故C错误；
对于D，由幂函数的定义知不是幂函数，不符合题意；故D错误；
故选：A.
7．AC
【详解】当时，的定义域和值域均为，故A正确；当时，的定义域为，值域为，故B错误；当时，的定义域为，值域为，故C正确；当时，的定义域为，值域为，故D错误．
8．D
【分析】先求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质和解析式对选项逐一判断即可.
【详解】设幂函数，因为，
所以，所以（）.
根据幂函数的性质可知，在上单调递减，所以A错误；
因为该函数的定义域为，所以不关于轴对称，B错误；
因为时函数无意义，所以不经过点，C错误；
因为在上单调递减，，
所以，D正确.
故选：D.
9．A
【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断.
【详解】由已知图象可知当时，，
当时，，
而函数在底数时为的单调增函数，
在底数满足时为的单调减函数，
.
故选：A
10．或1或3
【分析】由题意，需使，求出k的范围，再根据，结合题意逐一验证即得．
【详解】由题意，令，解得，因为，所以；
当时，，幂函数为，此时，
所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；
当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，
且与x轴及y轴均无交点，不满足题意；
当时，，幂函数为，图象关于y轴成轴对称，
且与x轴及y轴均无交点，满足题意；
当时，，幂函数为，图象关于原点成中心对称，
且与x轴及y轴均无交点，不满足题意；
当时，，幂函数为，此时，
所以其图象关于y轴成轴对称，且与x轴及y轴均无交点，满足题意；
综上，k的值为或1或3.
故答案为：或1或3.
11．CD
【分析】根据幂函数的性质，逐一判断每个函数是否满足题目中的条件即可.
【详解】对于A，函数在上单调递减但不是幂函数，故选项A错误；
对于B，函数是幂函数，在上单调递增，故选项B错误；
对于C，函数是幂函数且在上单调递减，故选项C正确；
对于D，函数是幂函数且在上单调递减，故选项D正确，
故选：CD.
12．A
【分析】借助幂函数的性质判断A，B，利用函数的定义域排除C，利用函数的奇偶性排除D即可.
【详解】因为，所以令，
易得的定义域为，故C错误，
而，故是偶函数，故D错误，
又，由幂函数性质得在第一象限内，图象的增长幅度越来越快，故A正确，B错误.
故选：A.
13．BC
【分析】根据幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性对选项逐一判断即可.
【详解】设，其图象经过点，
则，解得，故，
那么的定义域为，故A错误；
的值域为，故B正确；
因为，则为偶函数，故C正确；
因为在上单调递增，在上单调递减，不能说是在其定义域上的减函数，故D错误.
故选：BC.
14．B
【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.
【详解】由题意得，所以，所以，
解得或，
当时，，为偶函数，故不符合题意，
当时，，为奇函数，故符合题意.
综上所述：.
故选：B.
15．
【分析】先根据幂函数的性质求出的值，再根据幂函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为幂函数（）的图象关于原点对称，且在上单调递减，
所以且为奇数，
又，所以，
则，即为，
因为函数的定义域为且为减函数，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.