高中数学正弦函数、余弦函数的性质教学设计

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复习导入
问题1：在平面向量的应用这单元教学中，需要我们将实际问题数学化，进而解决问题，那么，请问解题的步骤是怎样的？
答案：（1）分析题意；（2）画图示意；（3）转化为数学问题；（4）运用有关知识解决问题.
追问1：测量不可到达两点间距离的思路是怎样？
答案：（1）先选定两个基点，（2）测得基点距离和基点与基点、基点与测量点形成的各个角度，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到测量两点间距离的表达式，（4）利用余弦定理得到测量两点间的距离.
追问2：测量底部不可到达的建筑物高度的思路是怎样？
答案：（1）在水平基线上选定两个基点，（2）测得基点距离和两个基点的仰角，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到建筑物顶端距离的表达式，（4）利用锐角三角函数求出建筑物的高度，不要忽略了仪器的高度.
技能应用
例1 如图所示，故宫角楼的高度，因为顶端和底部都不变到达，所以不能直接测量.假设提供米尺和测量角度的工具，能否在故宫角楼对面的岸边得出角楼的高度？
追问1：上节课，测量底部不可到达的建筑物高度时，两个基点有什么特点？
答案：是在水平基线上选取的，BC的延长线上（如图1-1）.
追问2：还可以怎么选？又如何测量高度？
答案：不在BC的延长线上选一点D（如图1-2）.用测角仪器测得C点仰角，，，；在△ADC中，由正弦定理，得；在Rt△ACB中，由锐角三角函数，得.
追问4：如果选取的点C与AB无法构成直角三角怎么办？
答案：把BC求出，再利用余弦定理求出AB.
用测角仪器测出，（如图1-3）.在△BDC中，因为，由正弦定理，得，因此；同理，从△ADC可得；最后，在△ACB中，根据AC、BC、α，利用余弦定理得到.
追问6：在上述测量方案下，还有其他计算角楼高度的方法吗？
答案：有；在△ACD中，利用正弦定理，AD的长度可表示出来，在△CBD中，利用正弦定理，BD的长度可表示出来，在△ADB中，由AD、BD和，余弦定理求出AB.
追问7：上述测量方案和计算河对岸A，B两点间距离的方法一样吗？
答案：一样；（1）先选定两个基点，（2）测得基点距离和基点与基点、基点与测量点形成的各个角度，（3）利用正弦定理得到其中一个基点到测量两点间距离的表达式，（4）利用余弦定理得到测量两点间的距离.
例2：如图所示，在某海滨城市A附近的海面出现台风活动.据检测，目前台风中心位于成是A的东偏南60方向、距城市A 300km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北30方向移动.如果台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km，将问题涉及范围内的地球表面看成平面，判断城市A是否会受到上述台风的影响.如果会，求出受影响的时间；如果不会，说明理由.
追问1：如何用数学语言描述城市A受台风影响？
答案：城市与台风中心距离小于等于台风半径，便受影响.
追问2：如有影响，如何用数学知识进行计算和表达？
答案：影响时间为台风经过城市的时间差.
答案：设台风的中心x h后到达位置Q，且此时km（如图）.在△AQP中，有，且km，km，因此由正弦定理可得
.
从而解得，所以或.
当时，，因此，；
当时，，因此，.
这就说明，城市A在h后会收到影响，持续时间为（h）.
例3：如图所示，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB的面积最大？
分析：四边形OACB的面积由点B的位置唯一确定，因此可设，再用α的三角函数来表示四边形OACB的面积.
答案：设，在△AOB中，由余弦定理，得.
于是，四边形OACB的面积为
因为，所以当，即，即时，四边形OACB的面积最大.
课堂小结
问题2：回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）学习本章后，你觉得平面向量能解决哪些问题？（2）能不能画一个结构图来反映本单元的研究思路及内容？获得了怎样的研究问题的经验？
答案：（1）平面向量可以解决简单平面几何问题、物理问题和实际问题，并用向量方法推出了三角形边角关系的余弦定理、正弦定理.
（2）