高中数学人教版新课标A必修51.1 正弦定理和余弦定理练习题

　正 弦 定 理

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.在△ABC中,若sin A>sin B,则A与B的大小关系为 (　　)

A.A>B

B.A<B

C.A≥B

D.A,B的大小关系不确定

【解析】选A.因为sin A>sin B,

所以2Rsin A>2Rsin B,即a>b,故A>B.

2.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,则b= (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.由正弦定理得b=×sin B=×sin 45°=.

3.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若3a=2b,则的值为 (　　)

A.-   B.   C.1  D.

【解析】选D.由正弦定理可得,

=2-1=2-1,

因为3a=2b,所以=,

所以=2×-1=.

4.(2019·鹤岗高一检测)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b,

若2asin B=b,则角A等于 (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.因为2asin B=b,由正弦定理可得:

2sin Asin B=sin B,

又sin B≠0,所以sin A=.

因为△ABC为锐角三角形,所以A=.

5.在△ABC中,a=15,b=18,A=30°,则此三角形解的个数为 (　　)

A.0   B.1

C.2   D.不能确定

【解析】选C.如图所示:CD=AC·sin 30°=18·=9,

因为9<15<18,即bsin A<a<b,所以三角形解的个数为2.

6.在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若A=60°,a=,b=,则B=

 (　　)

A.30° B.45° C.60° D.135°

【解析】选B.在△ABC中,由正弦定理可得=,即sin B== =,

又因为0°<B<180°,且a>b,则A>B,所以B=45°.

又因为B∈(0,π),且a>b,则A>B,所以B=45°.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.在△ABC中,acos A=bcos B,则这个三角形的形状为________. 

【解析】由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,

即sin 2A=sin 2B,

所以2A=2B或2A=π-2B,

即A=B或A+B=,

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.

答案:等腰三角形或直角三角形.

8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=50,c=150,B=30°,则边长a=________或________. 

【解析】由正弦定理,可得=,得sinC=,

因为150>50,所以C=60°或120°.

若C=60°,则∠A=90°.

由勾股定理得a=100,

若C=120°,则∠A=30°.

所以a=b=50.

答案:50　100

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.在三角形ABC中,已知a=5,b=5,A=30°,解此三角形.

【解析】在△ABC中,由正弦定理==,得sin B==.

因为b>a,所以B=60°或120°,

当B=60°时,C=180°-(A+B)=90°,

则c===10;

当B=120°时,C=180°-(A+B)=30°,

则c===5.

综上可得,B=60°,C=90°,c=10或B=120°,C=30°,c=5.

10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且==.

(1)求C.

(2)若b=+,求△ABC的周长.

【解析】(1)由正弦定理得==,

又因为sin C≠0,

所以sin A=cos A,从而tan A=1.

因为0<A<π,所以A=.

又因为sin C=cos A=,a>c,

所以C=.

(2)由(1)得sin B=sin(A+C)=sin=,

由正弦定理得==,

可得a=2,c=2.

所以△ABC的周长为2+++2=3++2.

(45分钟　75分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.在△ABC中,A=,AB=2,BC=5,则cos C= (　　)

A.±   B.-   C.   D.

【解析】选D.因为A=,AB=2,BC=5,

所以由正弦定理可得:=,可得:sin C==,

因为AB<BC,可得:C为锐角,

所以cos C==.

2.(2019·白山高一检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=2bsin C,B≤,则B=              (　　)

A.   B.   C.   D.

【解析】选A.因为c=2bsin C,所以sin C=2sin Bsin C,所以sin B=,则B=或,因为B≤,所以B=.

3.在△ABC中,已知tan A=,tan B=,且△ABC最大边的长为,则△ABC的最小边为 (　　)

A.1   B.   C.   D.3

【解析】选C.在△ABC中,已知tan A==,

tan B==<1,所以A<B<,所以C>.

再根据tan C=-tan(A+B)=-=-1,所以C=π,所以C>B>A,

再根据sin2 A+cos2 A=1,求得sin A=,cos A=,且△ABC最大边的长为,则c=,a为最小的边.再利用正弦定理可得=,

即=,解得a=.

4.在△ABC中,b=17,c=24,B=45°,则此三角形解的情况是 (　　)

A.一解　    B.两解　

C.一解或两解　  D.无解

【解析】选B.=⇒sin C==,因为c>b,0°<C<135°,所以角C有两个,故三角形有两解.

5.在△ABC中,已知A=60°,C=30°,c=5,则a= (　　)

A.5　　　B.10　　　C.5　　　D.5

【解析】选C.因为在△ABC中,A=60°,C=30°,c=5,所以由正弦定理=,得a===5.

二、填空题(每小题5分,共20分)

6.在边长为2的等边△ABC中,点O为△ABC外接圆圆心,则·=________. 

【解析】设三角形的外接圆半径为r,由正弦定理得=2r,所以r=2,

由题得<,>=,

所以·=2·2·cos=-2.

答案:-2

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-

cos C)=0,a=2,c=,则C=________. 

【解析】由题可得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,

即sin C(sin A+cos A)=sin Csin (A+)=0,所以A=.

由正弦定理=可得=,即sin C=,

因为c<a,所以C<A,所以C=.

答案:

8.△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若=,则B=________. 

【解析】因为=,

所以由正弦定理得=,

即cos Csin B=2sin Acos B-sin Ccos B,

2sin Acos B=cos Csin B+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,

因为sin A≠0,

所以cos B=,又因为0<B<π,所以B=.

答案:

9.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,给出下列结论:

①若A>B>C,则sin A>sin B>sin C;

②必存在A,B,C,使tan Atan Btan C<tan A+tan B+tan C成立;

③若a=40,b=20,B=25°,则△ABC必有两解.

其中,结论正确的编号为________(填写编号). 

【解析】①在三角形中,A>B>C,得a>b>c,由正弦定理==,

可知sin A>sin B>sin C,所以①正确;

②若A,B,C有一个为直角时不成立,

若A,B,C都不为直角,

因为A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π-C),即=-tan C,

则tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C,

所以tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,

即②错误;

③因为asin B=40sin 25°<40sin 30°=40×=20,即asin B<b<a,所以,△ABC必有两解.所以③正确.

综上,结论正确的编号为①③.

答案:①③

三、解答题(每小题10分,共30分)

10.(2019·厦门高一检测)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD>90°,AB=2, AC=+,∠BCA=30°,∠ADB=45°.

(1)求sin∠BAD.

(2)求AD的长度.

【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理,得=,

所以sin∠ABC==,

因为AD∥BC,

所以∠BAD=180°-∠ABC,sin∠BAD=sin(180°-∠ABC)=sin∠ABC=.

(2)由(1)可知cos∠BAD=-=-,

sin∠ABD=sin(∠BAD+45°)=(sin∠BAD+cos∠BAD)=,

在△ABD中,由正弦定理,得AD=sin∠ABD·=×=.

11.在△ABC中,已知sin A-cos A=1,cos B=,AB=4+.

(1)求内角A的大小.

(2)求边BC的长.

【解析】(1)因为sin A-cos A=1,

所以2sin=1,即sin=,

因为0<A<π,所以-<A-<,

所以A-=,所以A=.

(2)因为sin2B+cos2B=1,cos B=,B∈,

所以sin B==,

所以sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B

=×+×=.

在△ABC中,由正弦定理得=,

所以=,得BC=5.

12.(2018·北京高考)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.

(1)求A.

(2)求AC边上的高.

【解析】(1)在△ABC中,因为cos B=-,

所以B∈,

所以sin B==.

由正弦定理知=,即=,

所以sin A=,

因为B∈,

所以A∈,所以A=.

(2)在△ABC中,

因为sin C=sin(A+B)

=sin Acos B+sin Bcos A=×+×=.

如图所示,在△ABC中,

因为sin C=,

所以h=BC·sin C=7×=.

所以AC边上的高为.