人教A版 (2019)必修 第一册对数的运算课后复习题

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1. 定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（ ）
A． B．
C． D．
2. 函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
3. 函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
4. 已知函数，函数有四个不同的的零点，且，则（）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
5. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是___________小时.
类型一：把握不准函数图象的平移与对称
【错因解读】对函数的平移和对称掌握有误；机械记忆口诀忽略变换本质.
【典例引导】定义在区间上的函数的图象如下图所示，则的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【错误解法】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象，
再将其向左平移4个单位长度，
故选：C.
【正确解法】先把函数的图象关于原点对称，可得函数的图象，
再将其向右平移4个单位长度，即得函数的图象.
故选：B.
【补救措施】先利用中心对称得到的图象，再进行平移变换，即得的图象.
总结：
1.函数的图象可以由函数的图象变换得到，是横坐标伸缩变换，是左右平行移动变换．特别先进行伸缩变换再进行平移变换时，平移的长度不是，而是，这是最容易出错的地方．
2.常见的图象变换有平移变换、对称变换、伸缩变换三种，要在理解的基础上熟记如下结论：
（1）平移变换
①水平平移；如，把函数的图象，沿x轴方向向左或向右平移个单位，就得到的函数图象．
②竖直平移；如，把函数的图象沿y轴方向向上或向下平移个单位，就得到的函数图象．
（2）对称变换
①如，其函数图象与函数的图象关于y轴对称．
②如，其函数图象与函数的图象关于x轴对称．
③如，其函数图象与函数的图象关于原点对称．
④满足条件的函数图象关于直线对称．曲线关于点的对称曲线方程为，满足条件的函数图象关于点成中心对称．
（3）翻折变换
①如，将函数的图象，x轴下方沿x轴翻到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留在x轴以上部分，为函数的图象．
②如，将函数的图象在y轴右边沿y轴翻折到y轴左边部分替代原y轴左边部分并保留在y轴右边部分，为函数的图象．
（4）伸缩变换
①如，将函数的图象纵坐标（横坐标不变）伸长或压缩到倍得到．
②如，将函数的图象横坐标（纵坐标不变）缩小或伸长到原来的倍得到．
【再练一个】（2027届北京西城高一上期期末）
1．将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则（ ）
A．B．C．D．
类型二：不会拟合函数图象与解析式
【错因解读】未充分利用函数的性质选取图象；不会利用函数的图象识别性质得出表达式，主观臆断忽略关键特征点、趋势或边界.
【典例引导】函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【错误解法】当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应C中图象，
当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应B中图象，
综上只有AD不可能，
故选：AD
【正确解法】当a＝0时，，为反比例函数，对应D中图象，
当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应C中图象，
当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应B中图象，
综上只有A不可能，
故选：A
【补救措施】本例题的错误是没有详细识别函数表达式的性质，导致图象的选取出错.
总结：研究函数图象应从其主要特征入手，如：定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性，特征点、特征线、周期性等．
【再练一个】（2027届天津高一上期阶段测试）
2．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
类型三：零点定理使用不当
【错因解读】不会判断函数零点的取值范围；函数零点定理使用不当，分类讨论片面；忽视特殊情况的讨论.
【典例引导】函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【错误解法】若，即时，是函数唯一的零点，若，显然不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程有一个正根一个负根，即，即．故选C．
【正确解法】当时，为函数的零点；当时，若，即时，是函数唯一的零点，若，显然不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程有一个正根一个负根，即，即．故选B．
【补救措施】如果函数在区间上的图象是一条连续的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个c也是方程的根，我们称这个结论为函数的零点定理．函数的零点有＂变号零点＂和＂不变号零点＂，如本题中的就是函数的＂不变号零点＂，对于＂不变号零点＂，函数的零点定理是＂无能为力＂的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．
【再练一个】（2027届贵州六盘水高一下期期末）
3．已知函数，，则函数的零点个数为 .
类型四：解决零点问题时画图不准确
【错因解读】画函数的图象时，没有注意到渐近线等特殊条件的限制，画图不精导致图象出现偏差而出错；不会利用图象解决函数问题.
【典例引导】已知函数，函数有四个不同的的零点，且，则（）
A．的取值范围是 B．的取值范围是
C． D．
【错误解法】有四个不同的零点，即有四个不同的解．
的图象如下图示，
由图知：，，
故选：B
【正确解法】有四个不同的零点，即有四个不同的解．
的图象如下图示，
由图知：，
所以，即的取值范围是．
由二次函数的对称性得：，
因为，即，故．
故选：D
【补救措施】画函数的图象时，没有注意到渐近线的限制，错误判断零点关系.
总结：根据指数函数可知，都存在渐近线为，在解答与其图象相关问题时，要特别注意渐近线起到的对图象的约束作用．
【再练一个】（2027届四川德阳高一下期期末）
4．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
类型五：函数模型应用失误
【错因解读】不会根据实际情况构建函数模型；不会利用已知函数模型；指数对数的运算性质出错，解决复杂指对函数问题时公式运用错误，公式记忆不熟.
【典例引导】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然数的底数，k，b为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是___________小时.
【错误解法】由题意得，
所以时，．
【正确解法】由题意得，
所以时，．
【补救措施】在解答以指数函数、对数函数为背景的实际应用问题中，涉及到多个字母的表达式的处理，涉及指对数运算法则以及之间的转化，需要掌握指对函数变化与运用公式，避免出现计算失误．
【再练一个】（2027届湖北荆门高一下期期末）
5．规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
（易错点：把握不准函数图象的平移与对称）（2027届辽宁丹东高一上期期末）
6．已知函数的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
（易错点：不会拟合函数图象与解析式）（2027届河南平顶山高一上期期末）
7．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
（易错点：零点定理使用不当）（2027届贵州毕节高一下期期末）
8．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
（易错点：解决零点问题时画图不准确）（2027届天津高一上期阶段测试）
9．已知函数，若有4个零点，则的取值范围是 ．
（2027届海南海口高一下期期末）
10．某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量（单位：克）随时间（单位：天）的变化规律满足，其中为初始质量．若初始质量满足，则时，的值为 ．
《4.3 函数的运用【错题档案】（我的错题本）人教A必修一》参考答案：
1．A
【分析】根据函数图象变换关系进行求解即可
【详解】将函数的图象向左平移1个单位，得到，
再向下平移1个单位，得到，
所以，
故选：A
2．A
【分析】根据给定的函数，利用奇偶性及大于1时函数值正负判断即可.
【详解】函数的定义域为，，
函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除CD；
当时，，排除B，选项A符合要求.
故选：A
3．3
【分析】分，和讨论，结合零点存在性定理和函数单调性判断零点个数.
【详解】当时，，所以0是的零点，
当时，，
因为均在上单调递增，所以在上单调递增，
又，，则，
所以在上有且仅有1个零点，
当时，，易知在上单调递减，
又，则，
所以在上有且仅有1个零点，
综上，的零点个数为3.
故答案为：3.
4．D
【分析】作出的图象，由题意知有两个根再结合二次方程有两个不同的根即可求得的范围.
【详解】令，则令 即有4个不同的实数根.
则要有两个解，

由图知，.
，得.
则.
令，得，则，，得，.
则.
故选：D.
5．B
【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值．
【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，
根据题设，得，，可得，所以，，
由，得，
两边取10为底对数，整理得，
，，
因此，至少还需过滤20小时，
故选：B.
6．C
【分析】根据反比例函数的对称性即函数图象的变换可确定函数的对称中心.
【详解】因为：.
由的图象关于原点对称，将向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得的图象.
所以的对称中心为：.
故选：C
7．B
【分析】分,,,，讨论的正负号，排除A,C，比较的大小，排除D.
【详解】函数的定义域为，
当时，，当时，，故选项C错误，
当时，，当时，，故选项A错误，
且，，
因为，所以，故选项D错误.
只有B中图象符合题意，
故选：B.
8．C
【分析】根据函数单调性及零点存在定理分别判断各函数零点所在区间，进而判断各选项.
【详解】由已知函数，，，
可知函数，，分别在定义域内单调递增，
即各函数均有且只有一个零点，
又，，
即，
，，
即，
，，
即，
所以，
故选：C.
9．
【分析】等价转化为函数与图象有4个交点，作出图象可得，计算即可.
【详解】令，，
所以有4个零点等价于函数与图象有4个交点，
作出图象：
当时，，所以由图可知.
故答案为：
10．
【分析】由题意可得，再结合对数的运算即可求解.
【详解】由题意可得当时，，
所以.
故答案为：.