高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教案及反思，共5页。
课例编号
2020QJ10SXRA050
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
正弦函数、余弦函数的性质
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
黄天琦
北京市第五十中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1. 初步理解函数的周期性，在周期性和单调性的指导下把握正弦函数、余弦函数的其他性质；
2. 深入周期性和奇偶性的综合，加强多角度认识函数性质；
3. 借助单位圆深刻理解性质，提升数学直观和数学推理的数学素养.
教学重点：在周期性和奇偶性的指导下整合正弦函数、余弦函数的其然性质．
教学难点：周期函数、（最小正）周期的意义．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3分钟
（一）
新知引入
导语：通过前期对指数函数、对数函数的学习，我们已经知道对函数性质的研究思路:
绘制函数图象——观察图象、发现性质——证明性质
上节课我们已经学习正弦函数、余弦函数的图象，本节课让我们一起利用函数的图象研究正弦函数、余弦函数的性质.
问题1：类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？
师生活动：学生思考总结：根据研究函数的经验，我们可探究正弦函数、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、最大（小）值等.
问题2：观察正弦函数图象并结合其自身特点，思考正弦函数有哪些保持不变的特征.
师生活动：学生观察正弦函数图象可以发现：正弦函数在0，2π内的图象，向左或向右平移2π个单位长度，即在区间-2π，0，2π，4π内会出现相同的图象.教师适当启发，引导学生发现横坐标每隔4π或-4π个单位长度，也会出现纵坐标相同的点. 直至推广至2kπk∈Z.
追问:如何用代数方法解释以上猜想？
师生活动：学生思考、讨论. 当自变量x的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.可利用诱导公式sinx+2kπ=sinx(k∈Z)从代数的角度解释猜想的正确性.
教师可引导学生分别讨论k=1和k=-1两种情况所对应的两段图象，从而让数与形从特殊到一般进行对应，体会周期描述的周而复始的含义.
设计意图：通过对函数性质的研究思路的回顾，引导学生明确函数性质的研究内容，选择适当的研究方法.
10分钟
（二）
周期性
问题3：请阅读教科书5.4.2节“1.周期性”中的内容，回答下列问题：什么是周期函数？什么叫做周期？
师生活动：学生阅读教科书，回答周期函数的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且
fx+T=f(x)，
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
为学生更好的理解定义，教师可通过以下追问强调对“存在”和“每一个x∈D”的理解.
追问：你是如何理解定义中的“存在一个非零常数T”?
师生活动：对于函数fx “若对任意一个非零常数T,都不能使得fx+T=fx恒成立”，即“在函数fx定义域中总能找到某个值x0，使得fx0+T≠f(x)，”在这种情况下，fx就不是周期函数.
追问：正弦函数是否为周期函数?
追问：sin-2π3+π3=sin-2π3，sinπ3+π3=sinπ3，
sin4π3+π3=sin4π3，⋯，那么π3是正弦函数y=sinx的一个周期吗？为什么？
师生活动：学生思考并回答，在正弦函数的定义域中，可以找一个值，比如当x=π6时，sinπ6+π3≠sinπ6，所以π3不是正弦函数一个周期.教师引导学生注意，在已知函数f(x)是周期函数的前提下，只要函数f(x)定义域中有一个值x0，使得fx0+T≠f(x)，则T就不是函数f(x)的周期.所以研究函数的周期要特别关注“每一个x∈D”的含义.
问题4：正弦函数的周期是多少？
师生活动：由关系式sinx+2kπ=sinx(k∈Z)可知正弦函数的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)
追问：对于一般的周期函数f(x)，如果常数T是这个函数的周期，你能证明nT(n∈Z且n≠0)也是它的周期吗？
师生活动：共同探究并证明，让学生试着证明，若学生有困难教师给予必要的帮助.
从周期函数的定义可以得到，如果T是f(x)的一个周期，它可以是正数也可以是负数，并且对定义域内的每一个x，都有fx+T=f(x)，于是fx+2T=fx+T+T=fx+T=fx.
所以2T也是f(x)的周期.同理可证，3T,4T,5T,⋯都是它的周期.进而得到 nT(n∈N*)都是它的周期.
类似地，如果fx+T=f(x)，那么fx=fx+-T=fx+-T+-T=fx+-2T，由此可知-2T,-3T,-4T,⋯都是它的周期.从而得到，-nT(n∈N*)也都是它的周期.即证明nTn∈Z且n≠0都是它的周期.
教师引导学生注意，以上推导过程成立的基础是，若x是周期函数fx定义域中的任意一个实数，那么x+T，x+2T，x-T, ⋯也都必须在函数定义域中，因此周期函数f(x)的定义域一定既无上界也无下界，即无界.
问题5：在正弦函数的所有周期中，是否存在一个最小的正数？
师生活动：根据正弦函数的周期是2kπk∈Z且k≠0，当k=1时得到最小的正数为2π.
教师总结：如果在周期函数fx的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做fx的最小正周期.
在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.最小正周期是最具有代表性的一个周期，但不是每个周期函数都存在最小正周期.
问题6：余弦函数是否为周期函数，若是，请指出其周期和最小正周期.
师生活动：学生观察余弦函数图象得出结论，余弦函数也是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
设计意图：直观理解正弦函数、余弦函数的周期性，了解最小正周期.
问题7：知道了一个函数的周期，对研究它的图象与性质有什么帮助？
师生活动：学生独立完成，之后进行展示交流，在此基础上教师进行梳理总结.
教师总结：函数的周期性可以简化对图象和性质的研究过程.对于一个周期函数，如果知道了周期，在对函数的探究过程中就可以从一个周期入手，只要认识到一个周期上函数的图象与性质，那么整个定义域上函数的图象和性质就都完全清楚了.另外，以正弦函数为例，已知2π是它的周期后，不一定必须从0，2π开始研究，只要从左向后平移取2π个单位长度都可以理解为正弦函数的一个周期进行探究.
设计意图：了解周期性的意义，为下面的研究做铺垫.
7分钟
（三）
其他性质
问题8：观察正弦函数、余弦函数的图象，完成下面的表格.
正弦函数
余弦函数
定义域
值域
周期性
奇偶性
对称轴
对称中心
每一个单调递增区间
每一个单调递减区间
最大值
最小值
师生活动：教师布置该任务后，学生通过观察图象，进行直观想象、数形结合，完成上述表格；之后互相交流讨论，进行修改完善，并进行展示交流.
在填写表格时，学生可以较准确地填写出正弦函数、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性.学生在猜想并写出单调区间、最值点时可能会产生遗漏，在写出对称轴、对称中心时可能会有疑惑.通过以下追问促进学生的思考，帮助他们理解.
追问：观察正弦函数图象，找出在[-π2,3π2]内的对称轴和对称中心.
追问：观察正弦函数图象，探究在[-π2,3π2]内函数的单调性.
师生活动：学生能够在一个周期内找到正弦函数的对称轴、对称中心以及图象的变化趋势.教师引导学生结合正弦函数的周期性，将对称轴，对称中心和单调性进行归纳，并得到正弦函数的最大（小）值.
设计意图：按照已有的研究方案，落实函数研究的方法和程序；培养学生运用类比、对比的方法研究对象的意识和能力.
问题9：请同学们课后类比正弦函数性质的探究过程，进行对余弦函数性质的探究并完成表格.
问题10：阅读教科书5.4.2节“2. 奇偶性”“3. 单调性”“4. 最大值与最小值”的内容，回答下列问题：
（1）如何证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？知道一个函数的奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？
（2）分别选择了哪个区间研究正弦函数、余弦函数的单调性？为什么？
师生活动：教师布置任务后，学生阅读教科书，回答问题.
设计意图：引导学生重视教科书的阅读，在直观感知的基础上系统、规范地认识函数的性质，并获得精准规范的表达，培养思维的严谨性.
2分钟
（四）
课堂小结
布置作业
教师总结：本节课我们经历了观察图象、发现性质进而证明性质的过程，对正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值进行探究，进一步体会研究函数性质的一般思路和过程.这为我们下节课研究正弦函数、余弦函数图象与性质的应用奠定了理论基础.
作业布置：阅读教科书第208页“探究与发现 利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”.