数学必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂达标检测题

《第二节　平面向量的运算》同步练习

（课时4　向量的数量积）

一、基础巩固

知识点1　向量的数量积

1.[2022北京八中高三上期中]在直角三角形ABC中,A=90°,B=60°,AB=2,则·=(　　)

A.-4  B.4  C.-8  D.8

2.[2022江苏苏州高一下期中]已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·(a-b)=5,则向量a与b的夹角为(　　)

A.  B.  C.  D.

3.(多选)[2022安徽蚌埠高三一模]若平面向量a,b,c两两的夹角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|的值可能为(　　)

A.  B.  C.3  D.6

4.如图,圆O的直径BC=4,AO=5,则·=(　　)

A.25  B.10  C.21  D.9

5.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.

(1)求AD的长;

(2)求∠DAC的大小.

知识点2　向量的垂直关系

6.[2022福建南平高一下期末]若夹角为的非零向量a,b满足|a|=1且a⊥(a-b),则|b|=(　　)

A.1  B.  C.2  D.3

7.[2022福建师大附中高一质检]设P为△ABC所在平面内一点,且满足···,则P是△ABC的(　　)

A.重心  B.垂心  C.外心  D.内心

8.[2022北京丰台区高一期中]如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,F,G分别是AD,BC的三等分点(AF=AD,BG=BC).设=a,=b.

(1)用a,b表示,;

(2)若|a|=|b|,用向量的方法证明:EF⊥EG.

知识点3　投影向量

9.[2022河北邯郸高一下期末]已知a,b是两个互相垂直的单位向量,则向量a-2b在向量b上的投影向量为(　　)

A.b  B.-2b  C.-b  D.-b

10.[2022河南开封高一下期末]已知A,B是圆C上的两点,弦AB的长度为2,则·=　　　　,若在上的投影向量为,则||=　　　　. 

二、能力提升

1.[2022江西景德镇一中高一期末]已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,则a·b+b·c+c·a=(　　)

A.  B.-  C.9  D.-9

2.设向量a,b满足|a+b|=3,|a-b|=1,a与b的夹角为θ,则=(　　)

A.  B.  C.  D.3

3.[2022四川巴中高一下期末]若△ABC是边长为1的等边三角形,G是边BC的中点,M为线段AG上任意一点,则·的取值范围是(　　)

A.[0,]  B.[0,]  C.[-,0]  D.[-,]

4.(多选)[2022广东深圳福田区外国语高级中学高一下期中]八卦是中国古代的基本哲学概念,如图1是八卦模型图,其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA=1,则下列结论正确的有(　　)

A.·=- 

B.=- 

C.·· 

D.在上的投影向量的模为

5.(多选)[2022广东广州三校高二上期中联考]已知向量a,b,c满足|b+c|=2,且|a|=|b|=2,|c|=4,向量a与b,a与c,a+2b与b-λc的夹角都是,则λ的值可能为(　　)

A.-  B.  C.-1  D.1

6.[2022广东广州仲元中学高一期中]已知e1,e2是两个单位向量且|e1+λe2|(λ∈R)的最小值为,则e1,e2的夹角为　　　　        . 

7.[2022北京西城区期末]在长方形ABCD中,||=1,,且··,则||=　　　　,·=　　　　. 

8.在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,且CE=2DE,如图.设=a,=b.

(1)用a,b表示.

(2)在线段BC上是否存在一点F满足⊥?若存在,求出点F的位置,并求||;若不存在,请说明理由.

参考答案

一、基础巩固

1.A　因为△ABC为直角三角形,且B=60°,AB=2,所以BC=4,且<,>=120°,所以·=||·||×cos 120°=2×4×(-)=-4.

2.C　因为|a|=2,a·(a-b)=a2-a·b=|a|2-a·b=5,所以a·b=-1.设向量a与b的夹角为θ,则cos θ==-.因为θ∈[0,π],所以θ=.

3.AD　由平面向量a,b,c两两的夹角相等,得夹角为0°或120°,当夹角为0°时,|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=1+2+3=6,当夹角为120°时,|a+b+c|=.故|a+b+c|的值为6或.

4.C　·=()·()=()·()==52-22 =21.故选C.

5.解析(1)设=a,=b,

则()=a+b,

所以||2==(a+b)2=a2+a·b+b2=×9+×3×3×cos 120°+×9=3,

所以AD=.

(2)设∠DAC=θ,则θ为向量与的夹角.

因为cos θ==0,

所以θ=90°,即∠DAC=90°.

6.C　因为a⊥(a-b),所以a·(a-b)=0,即a2-a·b=0,所以|a|2-|a||b|cos=0,将|a|=1代入得|b|=2.

7.B　由··,得·()=·=0,即PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥BA,所以P是△ABC的垂心,故选B.

8.解析(1)因为点E是AB的中点,所以a.

因为AF=AD,BG=BC,所以b,

所以b-a, a+b.

(2)因为|a|=|b|,所以·=(b-a)·(b+a)=|b|2-|a|2=|b|2-(|b|)2=0,

所以EF⊥EG.

9.B　因为a,b是两个互相垂直的单位向量,所以a·b=0,且|a|=|b|=1,所以(a-2b)·b=a·b-2b2=a·b-2|b|2=-2,所以向量a-2b在向量b上的投影向量为·=-2b.

10.2　　解析过点C作CD⊥AB于点D,则在方向上的投影向量为,易知||=|=1,所以·=||||cos <,>=||||=2×1=2.又在上的投影向量为,所以·=2,所以||=.

二、能力提升

1.B　由题意,可得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=9+2(a·b+b·c+c·a)=0,所以a·b+b·c+c·a=-.

2.B　因为|a+b|=3,所以a2 +2a·b+b2=9　①.又|a-b|=1,所以a2-2a·b+b2=1　②.由①②得a·b=2,a2 +b2=5,所以.故选B.

3.C　方法一　因为△ABC为等边三角形,G是边BC的中点,故AG⊥BC,(),又M是线段AG上任意一点,故设=λ(0≤λ≤1),因为,所以,故·=()··=

-λ2,又AG=,0≤λ≤1,故-λ2∈[-,0].

方法二　如图,因为△ABC为等边三角形,G是BC的中点,所以AG=.因为M为线段AG上任意一点,

则||的取值范围是[0,],由向量的几何意义知|· |=||2,所以|·|的取值范围是[0,],

由图可知,向量与的夹角为钝角,所以· 的取值范围为[-,0].

4.AB　正八边形ABCDEFGH中,每条边所对的中心角皆为,其中OA=1.

5.AD　设b与c的夹角为θ,则|b+c|2=|b|2+|c|2+2b·c=12,得cos θ=-,解得θ=.又a+2b与b-λc的夹角是,而|a+2b|==2,|b-λc|=,(a+2b)·(b-λc)=4λ+10,所以,解得λ=-或λ=1.

6.或　解析因为e1,e2是两个单位向量,所以(e1+λe2)2=λ2+2λe1·e2+1.又|e1+λe2|的最小值为,所以(e1+λe2)2的最小值为,即关于λ的方程λ2+2λ·e1·e2+=0在R上有两个相等的实数根,所以Δ=(2e1·e2)2-1=0,所以e1·e2=±,所以e1与e2的夹角为或.

7. 　2　解析如图,由题可知⊥,||=1,,,,因为··,所以·()=·(),可得,所以||=,所以·=()·()==1+×3=2.

8.解析(1)根据题意得=b,

=-=-a,

所以=b-a.(2)假设在线段BC上存在一点F满足⊥,设=t=tb(0≤t≤1),

所以=a+tb.

因为在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,

所以|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos 60°=,

因为⊥,

所以·=(a+tb)·(b-a)

    =(1-t)a·b-a2+tb2

    =(1-t)×+t

    =0,

解得t=,

所以点F为线段BC的靠近点B的四等分点,

所以||=|a+b|=.

综上,当点F为线段BC的靠近点B的四等分点时,⊥,且||=.