人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算精练

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1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边的边长为2，若，，则等于（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】等边△ABC的边长为2，，，
∴，，
∴，
，．故选：D．
2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在中，为线段的中点，，，则（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【解析】在中，为线段的中点
，可得，,
.故选：B.
3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在中，，，为的重心，则________．
【答案】6
【解析】如图，点是的中点，
为的重心，，，
所以

故答案为：6
4．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，则的值是________.
【答案】
【解析】因为，
，
因此，
故答案为：.
5．（2020·四川内江市）在等腰中，斜边，，，，那么_____.
【答案】
【解析】由题可知在等腰中，斜边，，，
即，，
.故答案为：.
6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，若，则的值是______.
【答案】
【解析】∵，
，
∴，，
∴
，
故答案为：.
7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量，的夹角为，.若，则实数______.
【答案】1
【解析】两个单位向量，的夹角为，
，
又，，
，
解得．
故答案为：1．
8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量，满足=，，.若⊥，则实数的值为_____________.
【答案】
【解析】非零向量，满足=，，,⊥,
,解得，故答案为：
【题组二 向量的夹角】
1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量，，若，且，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，
因为，所以， .故选:B.
2．（2020·镇原中学高一期末）已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.
【答案】或
【解析】由，可得，则.
由为单位向量，得，则，即，
解得或.
3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向，满足，且，与夹角余弦值的最小值等于_________.
【答案】
【解析】平面向,满足,则
因为
展开化简可得,
因为,代入化简可得
设与的夹角为
则由上式可得
而
代入上式化简可得
令,设与的夹角为,则由平面向量数量积定义可得
,而
所以
由余弦函数的值域可得,即
将不等式化简可得,解不等式可得
综上可得,即
而由平面向量数量积的运算可知,设与夹角为,
则
当分母越大时,的值越小;当的值越小时,分母的值越大
所以当时, 的值最小
代入可得
所以与夹角余弦值的最小值等于
故答案为:
4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量满足.
（1）求在上的投影；
（2）求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
，设和的夹角为，
在上的投影为：；
（2）设与夹角为，
.
5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量，，，，且与的夹角为．
（1）求；
（2）求；
（3）若与垂直，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）；
（2），；
（3），，
即，解得：.
6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量满足，
（1）若，求实数的值；
（2）求向量与夹角的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，，所以，则与同向.
因为，所以，
即，整理得，解得，
所以当时，.
（2）设的夹角为，
则，
当，即时，取最小值，
又，所以，
即向量与夹角的最大值为.
7．（2020·全国高一专题练习）已知向量，且，与的夹角为.，.
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值；
（4）若与的夹角为，求的值.
【答案】（1）见解析（2）或.（3）（4）
【解析】（1）证明：因为，与的夹角为，
所以，
所以.
（2）由得，即.
因为，，
所以，，
所以，
即.所以或.
（3）由知，即，即.
因为，，所以，，
所以.所以.
（4）由前面解答知，，.
而，
所以.
因为，
由得，
化简得，
所以或.
经检验知不成立，故.
【题组三 向量的投影】
1．（2021·江西上饶市）若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为（）
A．B．C．-1D．
【答案】B
【解析】利用向量垂直的充要条件有：，∴，
则向量在方向上的投影为,故选B.
2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量，，其中，，，则在方向上的投影为( )
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】由题意，向量，，其中，，，
可得……(1)
……(2)
联立(1)(2)解得，，
所以在方向上的投影为.故选：C.
3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量，满足，，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设两个向量的夹角为，则，从而，
因为，故，所以．故选：A．
4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知，，，则在上的投影是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以
所以在上的投影故选：C
5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知，，，则向量在向量方向的投影（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】由题意，向量，，，
可得，解得，
所以向量在向量方向的投影.故选：A.
6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC中，0，点P为BC的中点，且||＝||，则向量在向量上的投影为（ ）
A．B．-C．﹣D．
【答案】D
【解析】根据题意，，又点为中点，故可得，
如下所示：
故三角形为等边三角形，故可得，
不妨设，故可得，
则向量在向量上的投影为.
故选：.
7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量满足，则向量在向量上的投影为________.
【答案】
【解析】向量满足，
可得，，即为，，两式相减可得，
则向量在向量上的投影为．故答案为：．
8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量，满足，，且，则向量在向量上的投影的数量为_______.
【答案】
【解析】，，，
，，
向量在向量上的投影的数量为.故答案为：.
9．（2021·河南郑州市）已知平面向量满足，则在方向上的投影等于______．
【答案】
【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：，
据此可得，在方向上的投影等于.
10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边中，则向量在向量方向上的投影为_____．
【答案】
【解析】因为是等边三角形，
所以向量与向量的夹角为，
因为边长为2，
所以向量在向量方向上的投影为，
故答案为：.
11．（2020·全国高一课时练习）已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.
【答案】4
【解析】为一个单位向量,与的夹角是由平面向量数量积定义可得,
根据平面向量投影定义可得,∴.故答案为:4
12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量、满足，，在方向上的投影为，则_______.
【答案】
【解析】，在方向上的投影为，，
，，
可得，因此，.故答案为：.
【题组四 向量的模长】
1．（2020·全国高一）已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】由题意得，，故选：A.
2．（2020·全国高一）若向量与的夹角为60°，且 则等于（ ）
A．37B．13C．D．
【答案】C
【解析】因为向量与的夹角为60°，且 所以
所以，故选：C．
3．（2020·全国高一开学考试）已知向量，满足，，，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】D
【解析】因为向量,满足,,
则故选:D
4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量、满足：，，，则_________.
【答案】.
【解析】，
，，
因此，，故答案为.
5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量，满足，，则__________，__________．
【答案】-1 4
【解析】由，得，①
由，得，②
①-②得：，∴．故．故答案为：①-1；②4.
6．（2020·全国高一）已知，，则的最大值为______；若，，且，则______.
【答案】14 10
【解析】
，当且仅当同向时等号成立，
所以，
即的最大值为14，
由两边平方可得：
，
所以，
所以，
即.
故答案为：14；10
7．（2020·东北育才学校）已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为
【答案】8
【解析】因为在上的投影（正射影的数量）为，
所以，
即，而，
所以，
因为
所以，即，故选D.
9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量与的夹角是，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】对于，和的关系，根据平行四边形法则，如图

，，,
，，
，，
，
，
，
，
化简得
当且仅当时，的最小值为.
故选：B.
10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量、满足，则的最大值为________．
【答案】
【解析】，则，
设与的夹角为，则，，
，，可得，
，则，
所以，，
，则，所以，当时，取最大值.
故答案为：.
11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量与向量的夹角为，且，.
（1）求；
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）∵，
∴，∴，∴.
（2）∵，∴，
整理得：，解得：或.
12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量满足:，|.
（1）若，求的值；
（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）若，则，
又因为，|，所以，所以；
（2）若，则，
又因为，，所以即，
所以，解得或，
所以.
13．（2020·全国高一单元测试）已知向量，，，且．
（1）求，；
（2）求与的夹角及与的夹角．
【答案】（1），；（2），．
【解析】（1）因为向量，，，且，
所以
，
所以，
又
，
所以；
（2）记与的夹角为，与的夹角为，
则，
所以．
，
所以．
【题组五 平面向量的综合运用】
1．（2020·北京丰台区·高一期末），是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A．可能方向不同，故错误；
B．，两向量夹角未知，故错误；
C．，所以，故错误；
D．由C知，故正确，故选：D.
2．（2020·全国高一单元测试）若是非零向量，是单位向量，①，②，③，④，⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③B．①②⑤C．①②④D．①②
【答案】D
【解析】∵，∴，①正确；
为单位向量，故，②正确；
表示与方向相同的单位向量，不一定与方向相同，故③错误；
与不一定共线，故不成立，故④错误，
若与垂直，则有，故⑤错误．
故选：D.
3．（2021·重庆）设为向量，则“”是“” （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据向量数量积运算，
若，即 =
所以 = 1，即
所以
若，则的夹角为0°或180°，所以“
或
即
所以“”是“”的充分必要条件
所以选C
4．（2020·全国高一课时练习）若，，均为单位向量，且，，则的最大值是（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】A
【解析】，，均为单位向量，
且，，
，
设，，得：，
，
方程有解，
，
，
的最大值为2．
故选：A．
5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量、、满足，且，则、、中最小的值是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【解析】由，可得，平方可得．
同理可得、，
，则、、中最小的值是．故选：．
6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量，，和实数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或B．若，则或
C．若，则或D．若，则
【答案】B
【解析】对于选项，若，则或或，故错误；
对于选项，由，得，即可得其模相等，但方向不确定，故错误；
对于选项，由，得，则或或，故错误；对于选项，由，可得或，故正确，
故选：.
7．（多选）（2021·江苏高一）若、、是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】是与共线的向量，是与共线的向量，与不一定共线，A错，
若，则与方向相反，∴，B对，
若，则，即，不能推出，C错，
若，则，与方向不一定相同，不能推出，D错，
故选：ACD.
8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若且，则
C．两个非零向量，，若，则与共线且反向
D．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
【答案】AC
【解析】对于A，由平面向量数量积定义可知，则，所以A正确，
对于B，当与都和垂直时，与的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B错误，
对于C，两个非零向量，，若，可得，即，，
则两个向量的夹角为，则与共线且反向，故C正确；
对于D，已知，且与的夹角为锐角，
可得即可得，解得，
当与的夹角为0时，，所以
所以与的夹角为锐角时且，故D错误；
故选:AC.
9．（2020·浙江高一期末）已知，，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，，
，
代入，
原式，
当时，原式最小值为.
故答案为：
10．（2020·湖北高一开学考试）在中，已知，，，则在方向上的投影为__________.
【答案】
【解析】因为，所以
所以，即
因为，所以即，即，所以解得或
因为，所以，即，所以，
因为，所以
所以在方向上的投影为
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.
11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量，其中，的夹角是，则____________；若为任意实数，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】由题意，平面向量，其中，的夹角是，
可得，
则，所以，
又由，
所以当时，的最小值为.
故答案为：；.
12．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在中，，，，是中点，在边上，，，则________，的值为________.
【答案】
【解析】因为，，，所以，
由题意，，
所以
，
所以；
由可得
，
解得.
故答案为：；.
13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量与向量的夹角为，且，，.
（1）求的值
（2）记向量与向量的夹角为，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由，所以.
（2）因为
所以
所以.
14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知，，向量与向量夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角时，的取值范围.
【答案】
【解析】∵，，与夹角为45°，
∴，
而，要使向量与的夹角是锐角，
则，且向量与不共线，
由得，得或.
由向量与不共线得
所以的取值范围为：
15．（2020·全国高一课时练习）在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）2，.
【解析】（1）在中，，可得，
所以，所以.
（2）由，可得，
即，整理得，
所以．
（3）由（2）知，
因为为正实数，则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为2，即，
此时，因为，可得，
又因为，此时为等边三角形，所以．
16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知，，点A，B分别是线段CE，ED的中点．
（1）试用，表示；
（2）若，，且，的夹角，试求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接AB，则，
∵A，B分别是线段CE，ED的中点，
∴，则．
（2)
，
将，代入，
则．
∵，
∴，则，
故．