高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练

6.4.3 正余弦定理的实际运用（精练）

【题组一 正余弦定理的综合运用】

1．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知的内角，，的对边分别是，，，且．

（1）求的大小；

（2）若的面积等于，，求的值．

2．（2020·霍邱县第一中学高一期末）在中，分别为内角所对的边长，，.

（1）求角的大小；

（2）求的面积.

3．（2020·三门峡市外国语高级中学高一期中）已知中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若边长，求的周长最大值.

4（2020·四川高一月考（文））已知的内角的对边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）当时，求面积的最大值，并指出面积最大时的形状.

5．（2020·江苏泰州市·兴化一中高一期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，满足且.

（1）求角B；

（2）求周长的取值范围.

6．（2020·安徽和县·高一期末（理））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，求的取值范围.

7．（2020·浙江高一期末）在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

8．（2020·浙江高一期末）在中，角，，的对边分别为，，，.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.

9．（2020·四川省成都市盐道街中学高一期中）已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．

（1）求．

（2）若，，求的面积．

10．（2021·湖南益阳市·高二期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题（2）中，并完成问题的解答．

问题：已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求A；

（2）若________，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【题组二 正余弦定理与三角函数综合运用】

1．（2020·浙江）已知函数.

（1）求函数的最小正周期和最小值；

（2）中，，，的对边分别为，，，已知，，，求，的值.

2．（2020·河南新乡市）已知函数．

（1）求函数在上的最大值和最小值；

（2）在中，角、、所对的边分别为、、，满足，，，求的值．

3．（2021·柳州市第二中学高二期末（理））已知函数，.

（1）求函数的最小值和最小正周期；

（2）已知内角，，的对边分别为，，，且，，若向量与共线，求，的值.

4．（2020·江西南昌市·高一月考）已知，函数.

（Ⅰ）求函数零点；

（Ⅱ）若锐角的三内角的对边分别是，且,求的取值范围.

5．（2021·江西新余市·高三期末（文））已知函数中，角的对边分别为，且．

（1）求的单调递减区间；

（2）若，求三角形中的值．

6．（2020·全国）已知函数.

（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；

（2）在中，角的对边分别为，若，，，求①求的值；②求.

7．（2020·山东）已知函数

（1）求函数的单调递增区间

（2）若锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且，求面积S的取值范围

【题组三 正余弦定理在几何中的运用】

1．（2020·湖北武汉市·高一期末）如图，在中，点在边上，，，．

（Ⅰ）求边的长；

（Ⅱ）若的面积是，求的值．

2．（2020·江西）如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1, CD＝3，cos B＝.

(1)求△ACD的面积；

(2)若BC＝，求AB的长．

3．（2020·湖北省崇阳县第一中学高一月考）在中，D为上一点，，，，.

（1）求角B；

（2）求.

4．（2020·四川绵阳市·三台中学实验学校高一开学考试）如图，在中，角，，的对边分别为，，，且.

（1）求的大小；

（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值.

5．（2020·福建泉州市·高一期末）在平面四边形中，，.

（1）求；

（2）若，，求的面积.

【题组四 正余弦定理在实际生活中的运用】

1．（2020·黑龙江大庆市·铁人中学高一期末）如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，，，且，则建筑物的高度为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）中华人民共和国国歌有个字，小节，奏唱需要秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）

A． B． C． D．

3．（2020·邵东市第一中学高一月考）如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为，沿倾斜角为的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为，则山高BC=（    ）

A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米

4．（2020·雅安市教育科学研究所高一期末）如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（  ）

A． B． C． D．

5．（2020·成都市实验外国语学校（西区）高一期中）如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟.

6．（2020·和县第二中学高一期中（文））和县文昌塔是市级文物保护单位且底部不能到达，现要测量文昌塔的高度，如图所示，在塔的同一侧选择两个观测点，且在两点测得塔顶的仰角分别为，在水平面上测得，两地相距，则文昌塔AB的高度是____________.

7．（2020·广东云浮市·高一期末）在相距3千米的，两个观察点观察目标点，其中观察点在观察点的正东方向，在观察点处观察，目标点在北偏东方向上，在观察点处观察，目标点在西北方向上，则，两点之间的距离是______千米．

8．（2020·山东济宁市·高一期末）如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得，，，，，则两景点B与C的距离为________km.

19．（2020·苏州新草桥中学高一期中）如图，A、B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求：

（1）轮船D与观测点B的距离；

（2）救援船到达D点所需要的时间．