高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念课后练习题

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1．（2021·全国高三专题练习）给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移. 正确的是 ( )
A．①②③是数量，④⑤⑥是向量B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
C．①④是数量，②③⑤⑥是向量D．①②④⑤是数量，③⑥是向量
【答案】D
【解析】由物理知识可得：密度，温度，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量；而速度、位移既有大小又由方向，因此是向量．选D．
2．下列量不是向量的是（ ）
A．力B．速度C．质量D．加速度
【答案】C
【解析】
【解析】质量只有大小，没有方向，不是向量.故选C
3．下列说法中，正确的个数是( )
①时间、摩擦力、重力都是向量；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量与b不共线，则与b都是非零向量．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．故选B.
4．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程．其中是向量的有( )
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】向量是既有大小又有方向的量，故②③④⑤是向量.
质量和路程都只有大小，没有方向，故不是向量.所以是向量的有4个.
5．（2021·全国课时练习）给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；
③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；
④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.故选：D.
【题组二 向量的几何表示】
1．（2020·全国高一课时练习）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且.
（1）画出所有的向量；
（2）求的最大值与最小值．
【答案】(1)见解析；(2)最大值为，最小值为.
【解析】(1)画出所有的向量，如图所示：
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值=；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值=；
所以||的最大值为，最小值为．
2．（2021·全国课时练习）一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.
（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；
（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？
【答案】见解析.
【解析】（1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；
（2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．
按（1）的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形，
由多边形的内角和定理可得
，
解得，且．
故α应满足的条件为，且．
3．（2020·全国高一课时练习）一名模型赛车手遥控一辆赛车，称先前进1 m，然后原地逆时针转动角为一次操作.
（1）当时，至少需要几次操作，赛车才可以回到出发点？按照适当的比例作图加以说明.
（2）如果，且按此操作，赛车能够回到出发点，那么应该满足什么条件？
【答案】（1）8次，说明见解析；（2）
【解析】（1）因为
属于至少需要8次操作，赛车可以回到出发点，如图所示.
（2），要使赛车回到出发点，则赛车走过的是一个正多边形路径，考虑外角和为，故每次转动的角度应该是除以一个正整数所得的商，即.
4．（2020·全国高一课时练习）在图中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到）.
【答案】A地至B，C两地的位移分别用表示；A地至B，C两地的实际距离分别为.
【解析】A地至B，C两地的位移分别用表示，图上A，B两点距离、A，C点距离分别为：，所以A地至B实际距离为：，
A地至C地的实际距离为：.
【题组三 相等向量与共线向量】
1．（2020·全国高一课时练习）如图所示，在等腰梯形中，，对角线交于点，过点作，交于点，交BC于点N，则在以，，为起点和终点的向量中，相等向量有（ ）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】B
【解析】由题，故相等向量有两对故选：B
2．（2021·全国高一专题练习）如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量，，，，，，，，，，中，与共线的向量有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】在向量，，，，，，，，，，中与共线的向量有：向量，，．故选C．
3（多选）（2020·全国高一单元测试）若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是（ ）
A．共线B．相等
C．模相等，方向相反D．模相等
【答案】ACD
【解析】∵四边形ABCD是矩形，,
所以共线，模相等,故A、D正确;
∵矩形的对角线相等,∴|AC|=|BD|,
模相等,但的方向不同，故B不正确;
|AD|=|CB|且AD∥CB，所以的模相等，方向相反，
故C正确.
4．（2020·全国高一）如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量______.（写出两个即可）
【答案】，，
【解析】解：由题可得：与相等的向量是：，，；
故答案为： ，，.
5．（2020·全国）如图所示，和是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设的边长为，图中列出了长度均为的若干个向量
则：（1）与向量相等的向量有_______；
（2）与向量共线，且模相等的向量有________；
（3）与向量共线，且模相等的向量有________.
【答案】， ，，，， ，，，，
【解析】（1）与向量相等的向量是，；
（2）与向量共线且模相等的向量是，，，， ，
（3）与向量共线且模相等的向量，，，，
故答案为：（1），；
（2），，，，；
（3），，，，.
6．（2020·四川省越西中学高一月考）如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
（1）与相等的向量共有几个；
（2）与方向相同且模为的向量共有几个；
【答案】（1）5；（2）2.
【解析】由题可知，每个小方格都是单位正方形，
每个小正方形的对角线的长度为且都与平行，
则，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量，
则与相等的向量共有5个，如图1；
（2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2.
7．（2020·全国高一专题练习）已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；
（2）与长度相等的向量；
（3）与共线的向量.
【答案】（1）；（2），，，，，，；（3）
【解析】画出图形，如图所示．
（1）易知BCAD，BC＝AD，所以与相等的向量为.
（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
所以与长度相等的向量为，，，，，，.
（3）与共线的向量为，，.
8．（2020·全国）如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与共线及相等的向量.
【答案】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.（2）与相等的向量：，，.
【解析】（1）与共线的向量：，，，，，，，，，，.
（2）与相等的向量：，，.
9．（2020·全国）如图所示，O为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形，在图中所标出的向量中，
（1）分别写出与，相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）写出与模相等的向量.
【答案】（1），；
（2）与共线的向量有，，；
（3）与模相等的向量有，，，，，，.
【解析】（1），.
（2）与共线的向量有，，.
（3）与模相等的向量有，，，，，，.
10．（2021·全国）如图，D，E，F分别是正三角形ABC各边的中点.
(1)写出图中所示向量与向量长度相等的向量；
(2)写出图中所示向量与向量相等的向量；
(3)分别写出图中所示向量与向量，共线的向量.
【答案】(1)，，，，，，，.(2)，.(3)与共线的向量是，，；与共线的向量是，，.
【解析】(1)与长度相等的向量是，，，，，，，．
(2)与相等的向量是，．
(3)与共线的向量是，，；
与共线的向量是，，．
11．（2020·全国高三专题练习）如图，半圆的直径，是半圆上的一点，、分别是、上的点，且，，.
（1）求证：；
（2）求.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】(1)由题意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因为点为半圆上一点，所以
所以，故
(2)因为，所以，，
即，解得，即。
12．（2020·全国高一课时练习）如图，已知四边形中，，分别是，的中点，且，求证：.
【答案】见解析
【解析】因为，所以且，
所以四边形是平行四边形，
所以且.
又与的方向相同，所以.
同理可证，四边形是平行四边形，所以.
因为，，所以，
又与的方向相同，所以
【题组四 平面向量的概念区分】
1．（2021·甘肃省）下列关于向量的描述正确的是( )
A．若向量，都是单位向量，则
B．若向量，都是单位向量，则
C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量
D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆
【答案】D
【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定，故向量和不一定相同，故选项A错误；
对于选项B：因为，由知，不一定成立，故选项B错误；
对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；
对于选项D：因为所有单位向量的模为，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D正确；
故选：D.
2．（2021·武汉市）下列说法中，正确的个数是（ ）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；
②零向量的模为零，故②错；
③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；
④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.
故选：B.
3．（2020·广东深圳市·红岭中学高一月考）下列说法正确的个数为（ ）
①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量共线的单位向量不唯一
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】零向量的方向是任意的，故①错；向量的模是非负数，故②错；
与非零向量共线的单位向量不唯一，分别是，故③正确.
故选：B.
4．（2020·全国高一课时练习）下列说法中,正确的有( )
①如果非零向量与共线,那么的方向必与之一的方向相同;
②在中,必有;
③若,则A,B,C为的三个顶点;
④若均为非零向量,则与一定相等
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】①当时,结论不成立;
②，所以结论正确;
③当A,B,C三点共线时,也可以有,此时不能构成三角形，结论不成立;
④只有同向时结论才成立.故选：B
5．（2020·全国高一课时练习）下列命题中正确的个数是( )
①向量就是有向线段 ②零向量是没有方向的向量
③零向量的方向是任意的 ④任何向量的模都是正实数
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；
零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；零向量的模等于0，故④错.故选：B.
6．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．零向量是没有方向的向量B．零向量的长度为0
C．任意两个单位向量的方向相同D．同向的两个向量可以比较大小
【答案】B
【解析】零向量的长度为0，方向是任意的，故A错误，B正确；任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故C错误；不管是同向的向量还是不同向的向量，都不能比较大小，故D错误.故选：B
7．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．向量与是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上
B．向量 与平行，则与的方向相同或相反
C．向量与向量是平行向量
D．单位向量都相等
【答案】C
【解析】A项考查的是有向线段共线与向量共线的区别.事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上，而向量共线时，表示向量的有向线段可以在平行直线上，不一定在同一直线上，故A项错误.
由于零向量与任一向量平行，因此，若，中有一个为零向量时，其方向是不确定的.故B项错误.
由于向量与向量方向相反，所以二者是平行向量，故C项正确.
单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同.故D项错误.
故选：C
8．（2020·新泰市第二中学高一期中）下列命题中正确的个数有（ ）
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】对于①，若向向量与是共线向量，则，或A,，，在同条直线上，故①错误；
对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；
对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误；
对于④，比如共线的向量与(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.
故选：．
9．（2020·全国高一课时练习）设为单位向量，①若为平面内的某个向量，则；②若与平行，则；③若与平行且，则上述命题中，假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，与的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题，
若与平行，则与的方向相同或相反，反向时，故②③也是假命题，
综上所述，假命题的个数是3，故选D。
10．（2020·全国高一课时练习）以下说法正确的是（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若和都是单位向量，则
【答案】C
【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，
零向量是没有方向的向量，B错误；
共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；
若，都是单位向量，两向量的方向不定，D错误；
故选：C.
11．（2020·全国高一课时练习）下列关于向量的结论：
（1）若，则或；
（2）向量与平行，则与的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量与同向，且，则．
其中正确的序号为（ ）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
【答案】D
【解析】（1）若，由于的方向不清楚，故不能得出或，故（1）不正确.
（2）由零向量与任何向量平行，当向量与平行时，不能得出与的方向相同或相反，故（2）不正确.
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.
故选:D．
12．（2020·浙江高一期中）有下列说法：
①若两个向量不相等，则它们一定不共线；
②若四边形是平行四边形，则；
③若，，则；
④若，则且．
其中正确说法的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；
对于②，若四边形是平行四边形，则，故②不正确；
对于③，当时，与可以不共线，故③不正确；
对于④，“若，则且或与在一条直线上”，故④不正确.
故选：A.
13．（多选）（2021·涟水县）在下列结论中，正确的有（ ）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B．平行向量又称为共线向量
C．两个相等向量的模相等D．两个相反向量的模相等
【答案】BCD
【解析】A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；
B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；
C. 相等向量方向相同，模相等，正确；
D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；
故选：
14．（多选）（2020·全国高一单元测试）设为单位向量，下列命题是假命题的为（ ）
A．若为平面内的某个向量，则
B．若与平行，则
C．若与平行且，则
D．若为单位向量，则
【答案】ABC
【解析】对于A，向量既有大小又有方向，与的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；
对于B，C，若与平行，且，则与的方向同向或反向，同向时，此时；反向时，此时，故B，C是假命题；
对于D，为单位向量，为单位向量，则，故D是真命题．
故选：ABC
15．（2020·全国高一课时练习）对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________
【答案】1
【解析】（1）向量不可比较大小，故（1）错误；
（2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误；
（3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确；
（4）与任意向量平行，故（4）错误；
（5）若与有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误.故正确的命题个数为.故答案为：.
16．（2020·全国高一课时练习）给出下列四个条件:（1）；（2）；（3）与方向相反；（4）或其中能使成立的条件是________.(填序号)
【答案】（1）（3）（4）
【解析】若，则与大小相等且方向相同，所以，故（1）正确；
若，则与的大小相等，但方向不确定，因此不一定有，故（2）错误；
方向相同或相反的向量都是平行向量，若与方向相反，则，故（3）正确；
零向量与任意向量都平行，所以若或成立，则成立，故（4）正确.
故答案为：（1）（3）（4）
17．（2020·全国高一课时练习）判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.
（1）若与都是单位向量，则.（ ）
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量.（ ）
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量.（ ）
（4）若与是平行向量，则.（ ）
（5）若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合.（ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量.（ ）
【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√；（6）√.
【解析】（1）×因为单位向量的长度（模）尽管都是1，但方向不一定相同.
（2）√因为两个向量的方向相反，所以是共线向量.
（3）×因为x轴与y轴只有方向，没有大小，所以不是向量.
（4）×因为同向或反向的向量是平行向量，a与b的方向不一定相间，模也不一定相等，不一定成立.
（5）√假设点M与N重合，则，这与与不相等矛盾.所以点M与N不重合.
（6）√因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量.
故答案为：×；√；×；×；√；√