初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念教学演示课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念教学演示课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了观察与思考，ax2等内容，欢迎下载使用。
1.会设未知数，列一元二次方程.2.了解一元二次方程及其根的概念.3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数．
1.什么叫方程？我们学过哪些方程？
含有未知数的等式叫作方程.
我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.
3.什么叫一元一次方程？
只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程.
问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？
解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程
(100−2x)(50−2x) = 3600.
x2−75x+350 = 0. ①
问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？
解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程
x2−x−56 = 0. ②
问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程
x2 = 5(5−x).
x2+5x−25 = 0. ③
方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
3.未知数的最高次数是2.
一元二次方程的一般形式
ax2+bx+c = 0（a ≠ 0）
如果a=0，那么方程ax2+bx+c=0.即为bx+c=0，不是一元二次方程，所以规定a≠0.
符合一元二次方程的概念；
整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念；
含有未知数的式子不都是整式；
未知数的最高次数是 3；
当 m=0 时，未知数的最高次数是 1；
一元一次方程与一元二次方程的区别与联系
例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得 3x2–3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2–8x–10=0.
它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10.
下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？
– 1，0，1，2，3.
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）.
2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ）A. 3，5B. 3，0C. 3，–5D. 5，0
3. 新课标 概念辨析 (2026·深圳龙岗区期中)下列方程中，是一元二次方程的是(　A　)
4. (2026·长春调研)将一元二次方程2x2＝x＋8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为(　D　)
5..关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程， 则（ ）A. a>1B. a=1 C. a≠1 D. a≥0
6..已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______.
7.下列是方程5x2－4x－1＝0的解的是(　B　)
8.新情境 世界杯 2026年国际足联世界杯亚洲区预选赛的第二、三阶段均采取小组双循环赛制(即小组内每两队之间都要比赛两场).若某小组的x支球队间共进行了30场比赛，则可列方程为(　B　)
9. 新视角 逆向思维 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，则方程必有一根为(　C　)
10. (1)(2026·长治期中)若关于x的方程x2－2kx＝4x－1化成一般形式后不含一次项，则k的值为(　B　)
(2)若关于x的一元二次方程(m＋3)x2－4x＋mx＝｜m｜的常数项是－3，则其一次项是(　A　)
11.新考向 图象信息题 某厂家2026年1至5月份的某种产品产量统计如图所示.设从2月份到4月份，该厂家这种产品产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为 ⁠.
180(1＋x)2＝461　
12 (2026·泉州期中)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)有一根为x＝2025，则一元二次方程a(x－1)2＋bx－b＋2＝0必有一根为(　C　)
14(1)(2025·青海中考)若x＝1是一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根，则c的值为 ⁠.
(2)(2026·上海杨浦区期中)若x＝b是方程x2－ax＋b＝0的根(b≠0)，则a－b的值为 ⁠.
15. 新情境 生活应用 如图，有一张长方形桌子的桌面长130cm，宽60cm.有一块长方形台布的面积是这张桌子桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等.若设台布垂下的长度为xcm，则可列出x满足的方程为 ⁠ ⁠.
(130＋2x)(60＋2x)＝2×130×60
(或x2＋95x－1950＝0)　
[解析]∵m是方程x2－2x－1＝0的一个根，∴m≠0，
(3)m3－5m＋2026＝ ⁠.
17把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81；
解：一般形式：5x2–4x–1=0 二次项系数：5 一次项系数：–4 常数项：–1
解：一般形式：4x2–81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：–81
（3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3.
解：一般形式：4x2+8x–25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：–25
解：一般形式：3x2–7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：–7 常数项：1
18.将下列一元二次方程化为一般形式(使二次项系数为正)，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：(1）(x－2)2＝6x2＋3；解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5，一次项系数为4，常数项为－1.(2)2(t＋2)＝(t＋1)2.解：t2－3＝0，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为－3.
一次项系数为4，常数项为－1.
解：5x2＋4x－1＝0，二次项系数为5，
解：t2－3＝0，二次项系数为1，
一次项系数为0，常数项为－3.
19.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式：（1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长；
解：设正方形的边长为 x，列得方程 4x2=25，化为一般形式为 4x2–25=0.
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长；
解：设矩形的长为 x，列得方程 x(x–2)=100，化为一般形式为 x2–2x–100=0.
（3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长.
解：设较短木条的长为 x，列得方程 x·1=(1–x)2，化为一般形式为 x2–3x+1=0.
20.一材多题 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关于x的方程，并将所列方程化为一般形式.(1)甲同学用14cm长的铁丝围成了一个面积为12cm2的矩形，设矩形的长为xcm；解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12，即x2－7x＋12＝0.
解：(1)根据题意可得x(7－x)＝12，
即x2－7x＋12＝0.
20. 一材多题 数学活动课上，同学们各自用一根铁丝围成一个图形(铁丝刚好用完).根据下列情形列出关于x的方程，并将所列方程化为一般形式.(2)乙同学用30cm长的铁丝围成一个斜边长为13cm的直角三角形，设该直角三角形的一条直角边长为xcm.解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132，即x2－17x＋60＝0.
解：(2)根据题意可得x2＋(30－13－x)2＝132，
即x2－17x＋60＝0.
解：(1)∵方程(a＋1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0是关
22. 改编题 模块综合 已知关于x的一元二次方程(a＋1)x｜a｜＋1－2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长.(2)若x＝1是方程的根，且b＝c，试判断△ABC的形状，并说明理由.解：(2)△ABC是等边三角形.理由如下：由(1)得a＝1，又∵x＝1是方程的根，∴2－2b＋(1－c)＝0，即2b＋c＝3.又∵b＝c，∴b＝c＝1.∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形.
解：(2)△ABC是等边三角形.理由如下：由(1)得a＝1，
又∵x＝1是方程的根，∴2－2b＋(1－c)＝0，
即2b＋c＝3.又∵b＝c，∴b＝c＝1.
∴a＝b＝c.∴△ABC是等边三角形.