北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质优秀学案及答案

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考 点 演 练
题型1 相似三角形的判定与性质
【典例1】在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，在DC延长线上取一点E，连接OE交BC于F．已知AB＝4，BC＝6，CE＝2，则CF的长等于（ ）
A．23B．32C．2D．52
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2EC，连接AE交BD于点F，若△DEF的面积为4，则△ABF的面积为（ ）
A．6B．9C．18D．36
【变式2】如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式3】如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加下列一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．APAB=BPBCD．APAB=ABAC
过 关 验 收
1．如图，直线l1∥l2，直线AB、CD相交于点E，若AE＝4，BE＝8，DE＝6，则线段CE的长为（ ）
A．3B．5C．7D．9
2．如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EFEC=13，则下列结论错误的是（ ）
A．CDAG=12
B．EFGF=18
C．S△CDES△BCE=13
D．S△GAFS四边形ABCF=49
3．如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝60°．若BD＝6，CE＝3，则△ABC的边长为（ ）
A．8B．9C．12D．14
4．如图，两条直线m，n被三条平行线（L1，L2，L3）所截，若AB：BC＝2：3，DE＝4，过点A作AF的垂线，交L3于点G连接DG交L2于点H，若DG＝10，∠DGF＝30°则EH的长度为（ ）
A．43B．2C．23D．4
5．如图，在▱ABCD中，E是边AB上一点，连结AC，DE相交于点F．若AEEB=23，则AFCF等于（ ）
A．13B．23C．25D．35
6．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0”刻度线重合，O点落在“3”刻度线上，CD与“5”刻度线重合，若测得AB＝50cm，则CD的长是（ ）
A．30cmB．1003cmC．20cmD．254cm
7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C．设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式是（ ）
A．y=−12xx−4B．y=−2xx−1C．y=−3xx−1D．y=−8xx−4
8．如图，在△ABC中，P是边AB的中点．按下列步骤尺规作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧、分别交AB、BC于点D、E；②以点P为圆心，BD的长为半径画弧，交线段AP于点F；③以点F为圆心，DE的长为半径画弧，交前一条弧于点G；④作直线PG，交线段AC于点Q．则PQBC的值为（ ）
A．13B．32C．2D．12
9．如图，在△ABC中，BC＝15，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD：DB＝2：3，则线段BF的长为（ ）
A．10B．9C．6D．5
10．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．ABBP=ACCBD．AB2＝AP•AC
11．如图，在▱ABCD中，AE：ED＝1：2，S△AEF＝2，则S△ABC＝（ ）
A．6B．18C．20D．24
12．如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE=14AD，BE的延长线交AC于点F，则AFFC的值为（ ）
A．14B．15C．17D．16
13．如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠BACB．ADAB=DCBC
C．CA平分∠BCDD．AC2＝BC•CD
14．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连接BE，AC相交于点F，过F作AD的平行线交AB于点G，若FG＝2，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．4D．6
15．如图，点O是△ABC的中线AD上一点，AO＝2DO，过点O作EF∥BC，分别交AB和AC于点E，F，现随机向△ABC内部抛一粒米，则米落在图中阴影部分的概率为（ ）
A．15B．415C．310D．29
16．如图，在小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格点上，则∠A+∠E的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
17．如图，点E在矩形ABCD边CD上，且AB＝BE，AC与BE相交于点F．已知CE＝3，AD＝4，则EF的长为（ ）
A．2B．158C．52D．178
18．如图①，是形如“7”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用4个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为6的正方形中，则a的值为（ ）
A．229B．103C．105D．23
19．如图，在▱ABCD中，E是CD上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，△DEF的周长为4，则△ABF的周长为（ ）
A．6B．8C．10D．12
20．如图，B、F、C三点共线，AC与BD相交于点E，AB∥EF∥DC，若BE：ED＝3：5，则S△ABES△CDE的值为（ ）
A．53B．35C．925D．325
21．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDB＝4：7，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A．16：49B．16：121C．4：11D．4：49
22．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④S△BPDS正方形ABCD=3−13．以上结论中，正确的有 （填写所有正确结论的序号）．
23．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB＝3AD，∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则EFAE的值为 ．
24．如图，在▱ABCD中，AM=13AD，BD与MC相交于点O，则S△COD：S四边形AMOB＝ ．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，ADCD=12，则S△ACDS△ABC的值是 ．
26．如图，已知AC⊥BC于点C，AE⊥DE于点E，∠CAE＝∠BAD，AC＝3，AB＝5，AD＝10．
（1）求证：△ABC∽△ADE．
（2）求线段DE的长．
27．如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1，CD=23．
（1）求证：△ABP∽△PCD；
（2）求△ABC的边长．
28．如图，在正方形ABCD中，E为边AB的中点，G，F分别为边AD，BC上的点．若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90°，求GF的长．
题型1 相似三角形的判定与性质
解｜题｜知｜识
（1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．