初中北师大版（2024）4 正方形的性质与判定优质第2课时学案及答案

这是一份初中北师大版（2024）4 正方形的性质与判定优质第2课时学案及答案，共10页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第2课时 正方形的判定
【学习目标】
1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.
2. 探究并证明正方形的判定定理.
3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.
学习重点：证明正方形的判定定理.
学习难点：灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.
【复习导入】
问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？
问题2：你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？

【合作探究】
探究点1: 正方形的判定
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
证一证
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
证一证
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
归纳总结
常用的正方形判定方法：
归纳总结
正方形判定的几条途径：
练一练
1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
典例精析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形 BECF 是正方形.
练一练
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
探究点2: 中点四边形问题
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
做一做
如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
归纳总结
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？




当堂反馈
1.当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成( )
A.菱形B.等腰梯形
C.正方形D.无法确定
2.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A.∠D＝90°B.AB＝CD
C.AD＝BCD.BC＝CD
3.如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O.若不添加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 .
4.在▱ABCD中，AC，BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是 .
5.如图，EG，FH都过正方形ABCD对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形.
参考答案
【合作探究】
探究点1: 正方形的判定
证一证：证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
证一证
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
练一练1. C
典例精析
例1 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形 BECF 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，
∴∠EBC = eq \f(1,2)∠ABC = 45°，∠ECB = eq \f(1,2) ∠DCB = 45°.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.
∴□ BECF 是菱形(菱形的定义).
在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，
∴∠BEC = 180° -∠EBC - ∠ECB= 180° - 2×45° =90°.
∴菱形 BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
练一练2.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC =∠DFC = 90°.
又∵∠C = 90°，
∴ 四边形 CEDF 是矩形.
过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.
∵ AD 是∠CAB 的平分线，
∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.
∴ 四边形 CEDF 为正方形.
知识点二：中点四边形问题
拓展1
解：连接 AC、BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
拓展2
解：连接 AC、BD.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ EF = GH = FG = EH.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
拓展3
解：连接 AC，BD.
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.
∴EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是菱形
∴AC⊥BD，
∴∠1 = 90°，∠2=90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
拓展4
证明：连接 AC，BD，
∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，
∴ EF∥AC 且EF = eq \f(1,2)AC，
同理可证 HG∥AC 且 HG = eq \f(1,2)AC，
EH∥BD且 EH = eq \f(1,2) BD，FG∥BD 且 FG = eq \f(1,2) BD.
∴四边形 PFQO 为平行四边形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC⊥BD.
∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°.
∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°.
∴四边形 EFGH 为正方形.
归纳总结
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系.
当堂反馈
1.C 2. D 3.AC＝BD(答案不唯一) . 4. 正方形 .
5.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°，
即∠COH＋∠BOH＝90°.
∵EG⊥FH，∴∠EOH＝90°，即∠BOE＋∠BOH＝90°.∴∠COH＝∠BOE.
在△CHO和△BEO中，∵∠HCO＝∠EBO，OC＝OB，∠COH＝∠BOE，
∴△CHO≌△BEO.∴OE＝OH.
同理可证：OE＝OF＝OG，∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴EG＝HF，四边形EFGH是平行四边形.
∴四边形EFGH是矩形.
又∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是正方形.
定义法
矩形法
菱形法