初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定优秀第2课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定优秀第2课时教案设计，文件包含部编高教版2023中职语文拓展模块上册高二下学期第一单元测试卷教师版docx、部编高教版2023中职语文拓展模块上册高二下学期第一单元测试卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。
1.用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力．
2.探究并证明正方形的判定定理，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的判定方法之间的区别和联系．
3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力．
重点：正方形判定方法的理解与应用．
难点：正方形判定方法的探究及证明．
知识链接
前面我们学习了正方形的性质，回顾一下相关知识．
探究点一：正方形的判定
问题1：你是如何判定矩形、菱形的？
问题2：怎样判定一个四边形是正方形呢？
归纳总结：对角线相等的菱形是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．
问题3：你能证明以上归纳总结的结论吗？
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB．求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°．∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD．∴四边形ABCD是正方形．
剩余结论，同学们自己动手证明一下吧!
（教材P19例2） 探究点二：中点四边形
我们知道，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成一个平行四边形．那么，任意画一个正方形，以四边的中点为顶点可以组成一个怎样的图形呢？先猜一猜，再证明．
如图，顺次连接正方形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是正方形．理由如下：连接AC，BD，∵E，F分别是AB和BC边中点，∴EF∥AC且EF=12AC．同理可证HG∥AC且HG=12AC，EH∥BD且EH=12BD，FG∥BD且FG=12BD．∴EF∥HG，EF=HG．∴四边形EFGH为平行四边形．又∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，AC⊥BD．∴EF=FG=HG=EH，∠DOC=90°．∴四边形EFGH是菱形，∠EFG=90°．∴四边形EFGH为正方形．
思考1：以矩形或菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到的四边形EFGH是什么四边形？
解：四边形EFGH是菱形．理由如下：连接AC、BD．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD．∵点E、F、G、H为各边中点，∴EF=GH=12BD，FG=EH=12AC．∴EF=GH=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．
以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？和同桌交流讨论．
思考2：以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系？有怎样的关系？
决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系．
归纳总结：
我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作中点四边形．如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点．如果我们对四边形ABCD的对角线AC与BD添加一定的条件，则可使四边形EFGH成为特殊的平行四边形，请你经过探究后直接填写答案：
①当AC=BD时，四边形EFGH为 菱形 ；
②当AC 垂直 BD时，四边形EFGH为矩形；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为 正方形 ．
1.当矩形的对角线互相垂直时，此矩形将变成( C )
A.菱形B.等腰梯形
C.正方形D.无法确定
2.在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( D )
A.∠D＝90°B.AB＝CD
C.AD＝BCD.BC＝CD
3.如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O.若不添加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 AC＝BD(答案不唯一) .
4.在▱ABCD中，AC，BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是 正方形 .





对角线不垂直，不相等
对角线不垂直，不相等
对角线相等
对角线垂直
对角线相等且垂直
平行四边形
平行四边形
菱形
矩形
正方形