数学九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定完美版ppt课件

这是一份数学九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定完美版ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了四个角都是直角，对角线相等，四条边都相等，观察·思考，探究点正方形的性质，韦恩图，∴BEDF，第1题，第2题，第3题等内容，欢迎下载使用。
1.通过观察、比较、动手操作探究正方形边、角、对角线、对称的性质，培养学生的归纳探究能力和数学表达能力.(重点、 难点)2.利用正方形的性质定理进行计算或证明，培养学生分析问题和解决问题的能力.（难点）
对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
探究：从正方形的边、角、对角线出发，写出正方形的性质，并证明其中的一些结论。
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等.定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形. ∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义). 又∵ 正方形是平行四边形， ∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)， 正方形是菱形 (菱形的定义). ∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°， AB = BC = CD = AD.
【证一证】(1) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
(2) 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形， ∴ AO = BO = CO = DO. ∵ 正方形 ABCD 是菱形， ∴ AC⊥BD.
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为 BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且 BE⊥DF. 理由如下：①∵ 四边形 ABCD 是正方形.∴ BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)。∴∠DCF = 180° -∠BCE =180° - 90° = 90°.∴∠BCE =∠DCF.又∵ CE = CF，
∴ △BCE≌△DCF (SAS).
② 延长 BE 交 DF 于点 M.∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF = 90°，∴∠CDF +∠F = 90°.∴∠CBE +∠F = 90°. ∴∠BMF = 90°，∴ BE⊥DF.综和①②可知，BE = DF，且 BE⊥DF.
例2 如图，在正方形 ABCD 中，△BEC 是等边三角形， 求证： ∠EAD =∠EDA = 15°.
证明：∵ △BEC 是等边三角形，∴ BE = CE = BC，∠EBC =∠ECB = 60°.∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ AB = BC = CD，∠ABC =∠DCB = 90°.∴ AB = BE = CE = CD， ∠ABE =∠DCE = 30°.∴△ABE，△DCE 是等腰三角形. ∴∠BAE =∠BEA =∠CDE =∠CED = 75°.∴∠EAD =∠EDA = 90°-75° = 15°.
【变式题1】四边形 ABCD 是正方形，以正方形 ABCD 的一边为边作等边△ADE，求∠BEC 的大小．
解：当点 E 在正方形 ABCD 外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；
当点 E 在正方形 ABCD 内部时，如图②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.综上所述，∠BEC 的大小为 30° 或 150°.
易错提醒：因为等边△ADE 与正方形 ABCD 有一条公共边，所以它们的边相等．本题分点 E 在正方形的外部和在正方形的内部两种情况．
【变式题2】 如图，在正方形 ABCD 内有一点 P 满足 AP = AB，PB = PC，连接 AC、PD．（1）求证：△APB≌△DPC；
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC =∠DCB = 90°．∵ PB = PC，∴∠PBC =∠PCB．∴∠ABC -∠PBC =∠DCB -∠PCB，即∠ABP =∠DCP．又∵ AB = DC，PB = PC，∴△APB≌△DPC．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAC =∠DAC = 45°．∵△APB≌△DPC，∴ AP = DP．又∵AP = AB = AD，∴ DP = AP = AD，即 △APD 是等边三角形．∴∠DAP = 60°．∴∠PAC =∠DAP -∠DAC = 15°， ∠BAP =∠DAB -∠DAP = 30°．∴∠BAP = 2∠PAC．
（2）求证：∠BAP = 2∠PAC．
【尝试·交流】如图，四边形 ABCD 是正方形。(1) 在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。
条件：另外两个顶点在正方形对角线 BD 上，且关于AC 对称(或到 AC 与 BD 交点的距离相等)。理由：菱形对角线互相垂直平分，正方形中 BD⊥AC 且互相平分，满足菱形性质。
(2) 在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点 E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边 AB，BC，CD，AD上，则矩形 EFGH 的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由。
条件：AE＝CG、AH＝CF(或邻边互相垂直)。理由：可证 EFGH 是平行四边形且有直角，符合矩形定义。
知识点1 正方形的边角性质
知识点2 正方形的对角线的性质
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个