初中北师大版（2024）3 矩形的性质与判定精品导学案

这是一份初中北师大版（2024）3 矩形的性质与判定精品导学案，文件包含第一章运动的描述单元测试原卷版docx、第一章运动的描述单元测试解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。

考 点 演 练
题型1 矩形的性质
【典例1】如图，把3个相同的矩形填充到菱形ABCD中，已知菱形ABCD的周长为82cm，则每个矩形的周长为（ ）
A．22cmB．4cmC．42cmD．8cm
【答案】B
【解答】解：如图，
∵AG＝AE﹣EG＝AE﹣AG＝HE＝FG，
∴△AFG是等腰三角形，
∴∠B＝45°，
∴AE＝BE，
∵菱形ABCD的周长为82cm，
∴AB＝22cm，
∴AE＝BE＝2cm，
∵AE+CE＝22cm，
∴CE＝（22−2）cm，
∴FG＝2﹣（22−2）＝（4﹣22）cm，
∴每个矩形的周长为（22−2+4﹣22）×2＝4cm．
故选：B．
【变式1】如图，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上滑动，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上滑动，四边形ODMA，OBNC都是矩形，若AB＝3，CD＝2，则OM2+ON2＝（ ）
A．9B．11C．13D．15
【答案】C
【解答】解：∵点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，点C，D分别在x轴，y轴负半轴上，
∴∠AOB＝∠COD＝90°，
∵四边形ODMA，OBNC都是矩形，AB＝3，CD＝2，
∴∠OBN＝∠OAM＝90°，BN＝OC，AM＝OD，OA2+OB2＝AB2＝9，OD2+OC2＝CD2＝4，
∴OM2＝OA2+AM2＝OA2+OD2，ON2＝OB2+BN2＝OB2+OC2，
∴OM2+ON2＝OA2+OB2+OD2+OC2＝9+4＝13，
故选：C．
【变式2】矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边CD上，若AM平分∠DMB，则DM的长是（ ）
A．33B．14C．3−32D．2−3
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，AB∥CD，BC＝AD＝1，∠C＝90°，
∴∠BAM＝∠AMD，
∵AM平分∠DMB，
∴∠AMD＝∠AMB，
∴∠BAM＝∠AMB，
∴BM＝AB＝2，
∴CM=MB2−BC2=22−12=3，
∴DM＝CD﹣CM＝2−3；
故选：D．
【变式3】如图1，这是某种型号拉杆箱的实物图，图2是它的平面示意图．行李箱的正面可看成一个矩形．若AC＝70cm，则下列说法正确的是（ ）
A．BD＜70cmB．BD＝70cm
C．BD＞70cmD．无法确定BD的长
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，
行李箱的正面可看成一个矩形．若AC＝70cm，
所以BD＝70cm．
故选：B．
题型2 矩形的判定
【典例1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列哪个条件能够使得▱ABCD是矩形（ ）
A．AB＝ADB．∠ABC＝∠BCDC．∠ABD＝∠CBDD．AO⊥BO
【答案】B
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴CD＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AO⊥BO，
∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：B．
【变式1】如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ）
A．AB∥CDB．AB＝BCC．∠B＝∠DD．AC＝BD
【答案】D
【解答】解：A、由AB∥CD，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
B、由AB＝BC，能判定平行四边形ABCD是菱形，不一定是矩形，故不符合题意；
C、由∠B＝∠D，不能判定平行四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
D、由AC＝BD，能判定平行四边形ABCD是矩形，故符合题意；
故选：D．
【变式2】已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝90°B．∠B＝∠CC．AC＝BDD．AC⊥BD
【答案】D
【解答】解：A、已知四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A＝90°，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定▱ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
B、已知四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠B＝∠C时，则∠B＝∠C＝90°，此时▱ABCD为矩形，
∴可以判定▱ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
C、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC＝BD时，平行四边形ABCD是矩形，
∴可以判定▱ABCD为矩形，
故该选项不符合题意；
D、已知四边形ABCD是平行四边形，
当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，
∴不能判定▱ABCD为矩形，
故该选项符合题意．
故选：D．
【变式3】以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°
B．OA＝OB＝OC＝OD
C．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BD
D．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD
【答案】D
【解答】解：如图：
A、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
B、∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；
D、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
根据OA＝OC，OB＝OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；
故选：D．
题型3 矩形的判定与性质
【典例1】如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．22C．10D．4
【答案】C
【解答】解：∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD=12+32=10，
∴CE=10，
故选：C．
【变式1】如图，在等边△ABC中，AB=43，BD⊥BC交∠BCA的平分线于点D，点E为BD上一点，点F为CD上一点，DE＝CF，连接AE、AF，则AE+AF的最小值是（ ）
A．42B．43C．46D．47
【答案】D
【解答】解：过点D作DG⊥CD，取DG＝AC，连接GE，AG，过点A作AM⊥BC于点M，过点G作GN⊥AM，交AM的延长线于点N，延长DB交GN于点H，如图所示：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=43，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCD＝30°，
∵DB⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴∠CDB＝90°﹣30°＝60°，∠CBH＝180°﹣90°＝90°，
∵DG⊥CD，
∴∠GDC＝90°，
∴∠GDE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠GDE＝∠ACF，
∵DG=AC=43，DE＝CF，
∴△GDE≌△ACF，
∴GE＝AF，
∴AE+AF＝AE+GE≥EG，当且仅当A、E、G三点共线时取等，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=12BC=23，
在Rt△ABM中，AM=AB2−BM2=6，
∵GH⊥AM，AM⊥BC，
∴GH∥BC，
∴∠DHN＝∠DBC＝90°，
∴∠DHG＝∠DHN＝90°，
∵∠GDH＝30°，
∴GH=12GD=23，
在Rt△DGH中，DH=DG2−GH2=6，
∵∠DBC＝90°，∠DCB＝30°，
∴DB=12CD，
在Rt△BCD中，BD2+BC2＝CD2，
即BD2+(43)2=(2BD)2，
解得：BD＝4，负值舍去，
∴BH＝DH﹣BD＝2，
∵∠HBM＝∠BMN＝∠BHN＝90°，
∴四边形BHNM为矩形，
∴MN＝BH＝2，HN=BM=23，
∴AN＝AM+MN＝6+2＝8，GN=GH+HN=23+23=43，
∴AG=GN2+AN2=(43)2+82=47．
故选：D．
【变式2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（ ）
A．8B．6C．4.8D．2.4
【答案】C
【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC=12×16＝8，OB＝OD=12BD=12×12＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB=OA2+OB2=82+62=10，
∵12AB•OH=12OA•OB＝S△AOB，
∴12×10OH=12×8×6，
解得OH＝4.8，
∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
∴OP≥OH，
∴EF≥4.8，
∴EF的最小值为4.8，
故选：C．
【变式3】下列说法正确的有（ ）个．
①菱形的对角线相等；
②对角线互相垂直的四边形是菱形；
③有两个角是直角的四边形是矩形；
④正方形既是菱形又是矩形；
⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分．
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：①菱形的对角线不一定相等，故错误；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误；
③有三个角是直角的四边形是矩形，故错误；
④正方形既是菱形又是矩形，故正确；
⑤矩形的对角线相等，但不一定互相垂直平分，故错误；
故选：A．
题型4 直角三角形斜边上的中线
【典例1】直角三角形两直角边长为6和8，则此三角形斜边上的中线的长是（ ）
A．10B．5C．4D．3
【答案】B
【解答】解：
在Rt△ACB中，AC＝6，BC＝8，由勾股定理得：AB=62+82=10，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=12AB＝5，
故选：B．
【变式1】一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（ ）
A．3.5cmB．3cmC．4.5cmD．6cm
【答案】B
【解答】解：∵点A、B对应的刻度为1、7，
∴AB＝7﹣1＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，点D为线段AB的中点，
∴CD=12AB=12×6＝3（cm），
故选：B．
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，AB＝6cm，D是AC的中点，则BD的长为（ ）
A．3cmB．33cmC．6cmD．6.5cm
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣60°＝30°，
∵AB＝6cm，
∴AC＝2AB＝12cm，
∵D是AC的中点，
∴BD=12AC=6cm，
故选：C．
【变式3】如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）
A．13B．262C．22D．10
【答案】B
【解答】解：根据勾股定理，AB=12+52=26，
BC=22+22=22，
AC=32+32=32，
∵AC2+BC2＝AB2＝26，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD=12AB=12×26=262．
故选：B．
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1．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是CD边的中点，若AB＝8，OM＝3，则线段OB的长为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，AB＝CD＝8，AO＝CO＝BO，
∵M是CD边的中点，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴OM∥AD，OM是△ADC的中位线，
∵OM＝3，
∴AD＝2OM＝6，
∵CD＝AB＝8，
∴AC=AD2+CD2=10，
∴BO=12AC=5，
故选：A．
2．数学活动课上，小茗同学利用尺规对矩形ABCD进行如图所示的操作，作出的两条线的交点恰好落在AD边上的点O处，则∠DAC的度数为（ ）
A．30°B．20°
C．条件不足，无法计算D．22.5°
【答案】D
【解答】解：如图，
由作图知，AO＝OC，OE⊥AC，
∴∠DAC＝∠ACO，
由作图知，OC平分∠BCD，
∴∠BCO=12BCD=12×90°=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACO＝∠ACB=12×45°=22.5°，
∴∠DAC＝∠ACB＝22.5°，
故选：D．
3．如图，平面直角坐标系中，点A（0，2），点C（4，0），四边形AOCB是矩形，AC与BO交于M，以点O为圆心，OM的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（ ）
A．2B．3C．5D．5−1
【答案】C
【解答】解：∵四边形AOCB是矩形，AC与BO交于M，点A（0，2），点C（4，0），
∴点M是AC的中点，
∴点M的坐标为(0+42，2+02)，即（2，1）
∴ON=OM=12+22=5，
∴点N的横坐标为5．
故选：C．
4．如图，在矩形ABCD中，AE＝3，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE．则BD的长是（ ）
A．33B．6C．43D．12
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，
∴OA＝OB，
∵ED＝3BE
∴BE＝EO，
∵AE⊥BD，
∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB，
即△OAB是等边三角形，
∴2BE＝AB，
∵AE＝3，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=AB2−AE2=4BE2−9，
解得：BE=3，
∴ED=3BE=33，
∴BD=43，
故选：C．
5．如图，已知矩形OABC的顶点O（0，0），C（0，3），对角线AC，OB相交于点D．按以下步骤作图：①分别以点A，D为圆心，大于12AD的长为半径作弧，两弧交于点M，N，连接MN恰好经过点B，若MN交x轴于点E，则点E的坐标为（ ）
A．(23，0)B．（3，0）C．(3，0)D．(32，0)
【答案】A
【解答】解：由题意可得，OC＝AB＝3，BC＝AO，DB＝DA，MN垂直平分AD，
∴BD＝BA，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABD＝60°，
∴∠ACB=∠ABE=12∠ABD=30°，
在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，AB＝3，
∴AC＝2AB＝6，
由勾股定理可得，OA=AC2−OC2=33，
在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，AB＝3，
∴BE＝2AE，
由勾股定理可得，AE2+AB2＝BE2，即AE2+32＝4AE2，
解得AE=3，
∴OE=OA−AE=23，
∴E(23，0)，
故选：A．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点点B的坐标是（2，3），则线段AC的长度为（ ）
A．5B．7C．13D．5
【答案】C
【解答】解：连接OB，如图：
∵顶点B的坐标为（2，3），
∴OB=22+32=13，
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB=13，
即线段AC的长度为13，
综上所述，只有选项C正确，符合题意，
故选：C．
7．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于点F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（ ）
①∠AEF＝60°；②FC＝2DF；③OG=12BC；④S△AOE=16S矩形ABCD．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，
∴OG＝AG＝GE=12AE，
∵∠AOG＝30°，
∴∠OAG＝∠AOG＝30°，
∴∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，
∴△OGE是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
设CF＝AE＝2a，则OE＝OG＝a，
∴AO=3OE=3a，
∵O为AC中点，
∴AC＝2AO＝23a，
∴BC=12AC=3a，
∴AB=3BC＝3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3a，
∴DF＝CD﹣CF＝3a﹣2a＝a，
∴FC＝2DF；故②正确；
∵OG＝a，12BC=32a，
∴OG≠12BC，故③错误；
∵S△AOE=12×a×3a=32a2，
S矩形ABCD＝3a×3a＝33a2，
∴S△AOE=16S矩形ABCD，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④共3个．
故选：C．
8．如图，点E为矩形ABCD边CD的中点，点F为边上一点，且∠FAE＝∠EAD，若BF＝8，FC＝2，则AF的长为 ．
【答案】12．
【解答】解：延长AE、BC交于G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BC＝AD，
∴∠DAE＝∠G，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∵∠AED＝∠CEG，
在△ADE和△GCE中，
∠DAE=∠G∠AED=∠CEGDE=CE，
∴△ADE≌△GCE（AAS），
∴CG＝AD，
∵BF＝8，FC＝2，
∴BC＝8+2＝10，
∴CG＝AD＝10，
∴FG＝CG+FC＝10+2＝12，
∵∠FAE＝∠EAD，
∴∠FAE＝∠G，
∴AF＝FG＝12．
故答案为：12．
9．在矩形ABCD中，AB＝2，O是BD的中点，点E在直线AD上，且DE＝3，若△BOE与△DOE关于直线OE对称，则AD的长为 ．
【答案】3+5或3−5．
【解答】本题考查了矩形性质，勾股定理，对称的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．解：因为△BOE与△DOE关于直线OE对称，
所以点B与点D关于直线OE对称，因此BE＝DE＝3．
在矩形ABCD中，AB＝2．
当点E在边AD上时，如图①，
在Rt△ABE中，∠A＝90°，由勾股定理得AE=BE2−AB2=32−22=5，
所以AD=AE+DE=5+3．
当点E在DA的延长线上时，如图②，
在Rt△ABE中，∠EAB＝90°，同理AE=BE2−AB2=32−22=5，
所以AD=DE−AE=3−5．
故AD的长为3+5或3−5．
故答案为：3+5或3−5．
10．如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（ ）
A．MB＝MOB．OM=12ACC．BD⊥ACD．∠AMB＝∠CND
【答案】B
【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM=12AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，
∴OB﹣BM＝OD﹣DN，
即OM＝ON，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵OM=12AC，
∴MN＝AC，
∴四边形AMCN是矩形．
故选：B．
11．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是（ ）
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
【答案】A
【解答】解：A、测量其中三个角是否为直角，能判定矩形；符合题意；
B、测量两组对边是否相等，能判定平行四边形；不符合题意；
C、测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形；不符合题意；
D、测量对角线是否相等，不能判定形状；不符合题意；
故选：A．
12．已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠BB．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BC
【答案】B
【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意；
B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，符合题意；
C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，不符合题意；
D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，不符合题意．
故选：B．
13．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点．若四边形EMFN是矩形，则原四边形ABCD应满足的条件是（ ）
A．AC⊥BDB．∠ABC+∠DCB＝90°
C．AC＝BDD．AB＝CD
【答案】B
【解答】解：∵E，F，N，M分别是AD，BC，BD，AC的中点，
∴AE＝DE，BN＝DN，AM＝CM，BF＝CF，
∴EN、NF、FM、EM分别为△ABD、△BCD、△ABC、△ACD的中位线，
∴EN=12AB，FM=12AB，FN=12CD，EM=12CD，EN∥AB，FN∥CD，
∴EN＝FM，FN＝EM，
∴四边形EMFN为平行四边形，
当AB⊥CD时，EN⊥FN，则此时平行四边形EGFH为矩形，
而当∠ABC+∠DCB＝90°可证明AB⊥CD，
故选：B．
14．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE=12AB，求证：四边形CDEF是矩形．
【答案】∵AD＝DC，CF＝FB，
∴DF=12AB，
∵CE=12AB，
∴CE＝DF，
∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴DE、EF为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形CDEF为平行四边形．
∵DF＝CE，
∴平行四边形CDEF为矩形．
【解答】证明：∵AD＝DC，CF＝FB，
∴DF=12AB，
∵CE=12AB，
∴CE＝DF，
∵D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，
∴DE、EF为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形CDEF为平行四边形．
∵DF＝CE，
∴平行四边形CDEF为矩形．
15．如图，在平行四边形ABCD中，O是边AD的中点，连接BO，并延长交CD的延长线相交于点E，连接AE、BD．
（1）求证：△AOB≌△DOE；
（2）请添加一个与线段BE有关的条件，使四边形ABDE为矩形．（不需要证明）
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠ABO＝∠DEO，∠BAO＝∠EDO，
∵点O是AD的中点，
∴AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（AAS）；
（2）BE＝AD（答案不唯一）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DE，
∴∠ABO＝∠DEO，∠BAO＝∠EDO，
∵点O是AD的中点，
∴AO＝DO，
∴△AOB≌△DOE（AAS）；
（2）解：当BE＝AD时，四边形ABDE是矩形，理由如下：
∵△AOB≌△DOE，
∴AB＝DE，
∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵BE＝AD，
∴四边形ABDE是矩形．
16.如图，在▱ABCD中，E，F分别是边BC和AD的中点，G，H在对角线AC上，且AG=CH=14AC，连接GF，EH．
（1）求证：△AFG≌△CEH；
（2）连接GE，FH，当AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形EHFG是矩形？请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；
（2）当AC＝2AB时，四边形EHFG是矩形，证明见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FAG＝∠ECH，
∵E，F分别是边BC和AD的中点，
∴AF＝CE，
在△AFG和△CEH中，
AF=CE∠FAG=∠ECHAG=CH，
∴△AFG≌△CEH（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EHFG是矩形，
证明：连接EF交AC于O，
由（1）知，△AFG≌△CEH，
∴FG＝EH，∠AGF＝∠CHE，
∴∠FGH＝∠EHG，
∴FG∥HE，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∴OG＝OH，
∵OA＝OC，AG=CH=14AC，
∴OG＝OH＝AG＝CH=14AC，
∵AO＝OC，CE＝BE，
∴OE=12AB，
∵AB=12AC，
∴OE=14AC，
∴OE＝OG＝OF＝OH，
∴EF＝GH，
∴四边形EHFG是矩形．
17．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）延长AE至G，使EG＝AE，连接CG，延长CF交AD于点P．当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF．
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE=12OB，DF=12OD，
∴DF＝BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC＝OA．
∴AC＝2OA．
∵AC＝2AB，
∴OA＝AB，
∵E是OB的中点，
∴∠OEG＝90°，
同理可得∠OFC＝90°，
∴∠OEG+∠OFC＝180°，
∴CF∥EG．
∵OA＝OC，EG＝AE，
∴CG∥EF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
18．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，OE垂直平分BC．求证：四边形ABCD是矩形．
【答案】见解析．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线相交于点O，
∴OC=12AC，OB=12BD，
∵OE垂直平分BC，
∴OB＝OC，
∴2OB＝2OC，即AC＝BD，
所以四边形ABCD是矩形．
19．如图，在△ABC中，D为BC的中点，过点D分别作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC，AB于点E，F．
（1）求证：△BDF≌△DCE；
（2）下列是两位同学的对话：
小杰：若添加条件AB＝AC，则四边形AFDE是菱形．
小兰：若添加条件∠BAC＝90°，则四边形AFDE是矩形．
请选择其中一位同学的说法加以证明．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】（1）证明：∵D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠B＝∠CDF，∠BDE＝∠C，
在△BDF与△DCE中，
∠B=∠CDFBD=DC∠BDF=∠C，
∴△BDF≌△DCE（ASA）；
（2）解：选择小杰：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DF∥AC，
∴∠FDB＝∠C，
∴∠FDB＝∠B，
∴∠B＝∠C＝∠FDB＝∠EDC，
在△BDF和△CDE中，
∠B=∠CBD=CD∠FDB=∠EDC，
∴△BDF≌△CDE（ASA），
∴DF＝DE，
∴平行四边形AFDE是菱形；
选择小兰：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，
∴四边形AFDE是矩形．
20．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则EF的最小值是（ ）
A．1.2B．2.4C．1.5D．2.5
【答案】B
【解答】解：如图，连接MC，
∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC，
∴四边形MECF是矩形，
∴MC＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∴CM⊥AB时，CM取得最小值，此时PF取得最小值，
∵S△ABC=12AB⋅CM=12AC⋅BC，
∴CM=AC⋅BCAB=3×45=2.4，
∴EF长度的最小值是2.4．
故选：B．
21．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（ ）
A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5
【答案】A
【解答】解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF＝CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=12EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=12AB×CM=12AC×BC，
∴CM=AC×BCAB=3×45=2.4，
∴CP=12EF=12CM＝1.2，
故选：A．
22．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是（ ）
A．2.4＜x≤4B．2.4≤x≤4C．2.4＜x＜4D．2.4≤x＜4
【答案】D
【解答】解：连接AP．
∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝36+64＝100，BC2＝100，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP＝EF，
∵∠BAC＝90°，M为EF中点，
∴AM=12EF=12AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=12×6×8=12×10×AP，
AP＝4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
当P和C重合时，AM＝4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝10，AD＝8，EF＝8，则GH的最小值是 ．
【答案】241−4．
【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接PA，PC，AC，
∴BC＝AD＝8，∠B＝∠BCD＝∠BAD＝90°，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC=AB2+BC2=100+64=241，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PHC＝∠PGC＝90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH＝PC，
∵P是线段EF的中点，
∴AP=12EF=4，
当AP+PC＝AC时，PC的值最小，即GH的值最小，最小值为241−4，
故答案为：241−4．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点D与点B对应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F，连接BD并延长交EF于点G，连接CE交BG于点H．下列结论：①BD＝DG； ②CE=2BD；③CH＝EH；④FG=2EG．其中正确的有 （填正确的序号）．
【答案】①②③④．
【解答】解：连接DF、HF，如图所示：
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
由旋转得：△ABC≌△ADE，
∴AD＝AB，∠ADE＝90°，∠DEA＝∠DAE＝45°，
∴∠ABD=∠ADB=180°−45°2=67.5°，∠BAE＝90°，
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴∠GFB＝90°，EF＝AB＝AD＝ED，∠DEF＝90°﹣∠AED＝45°，
∴∠GBF＝90°﹣∠ABD＝22.5°，
∵∠EDC＝∠EFC＝90°，ED＝EF，EC＝EC，
∴△EDC≌△EFC（HL），
∴CD＝CF，
∴∠CFD=∠CDF=12∠ACB=22.5°=∠GBF，
∴∠GFD＝90°﹣∠CFD＝67.5°＝∠FGD，
∴BD＝FD＝GD，
∴点D是BG的中点，
即BD＝DG，故①正确；
∵∠GDC＝∠ADB＝67.5°，
∴∠EDG＝90°﹣∠GDC＝22.5°，
∵△EDC≌△EFC，
∴∠DEH=∠FEC=12∠DEF=22.5°=∠EDG，
∴DH＝EH，
∵∠HDC＝∠HCD＝67.5°，
∴DH＝CH，
∴CH＝EH＝DH，故③正确；
∵CH＝EH，∠EFC＝90°，
∴HD=HF=12CE，
∵∠HDF＝∠DBF+∠DFB＝45°，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴DF=2DH，
∵CE＝2DH，BD＝DF，
∴CE=2BD，故②正确；
设DF交CE于O，
∵△HDF是等腰直角三角形，∠DHC＝∠FHC＝45°，
∴△DOH和△FOH都是等腰直角三角形，
∴OD＝OH＝OF，
设OD＝OH＝OF＝a，
∴DG＝DF＝2a，DH=HF=EH=2a，
∴HG=DG−DH=2a−2a，EO=OH+HE=a+2a，
∴GF2=HG2+HF2=(2a−2a)2+(2a)2=(8−42)a2，
EF2=OE2+OF2=(a+2a)2+a2=(4+22)a2，
∴EF2GF2=(4+22)a2(8−42)a2=(2+22)2，
∴EFGF=1+22，
∴EF=(1+22)GF，
∴GE=EF−FG=22FG
即FG=2EG，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
25．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∵FC＝AE，
∴CD﹣FC＝AB﹣AE，
即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四边形DEBF是矩形；
（2）解：∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∵DC∥AB，
∴∠DFA＝∠BAF，
∴∠DFA＝∠DAF，
∴AD＝DF＝5，
在Rt△AED中，由勾股定理得：DE=AD2−AE2=52−32=4，
由（1）得：四边形DEBF是矩形，
∴BF＝DE＝4．
26．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．
（1）求证BD＝CD；
（2）①当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
②△ABC满足 条件时，四边形AFBD是菱形（无需证明）．
【答案】（1）见解析；
（2）①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形，理由见解析；②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠ECD．
∵E是AD的中点，
∴DE＝AE，
在△AEF与△DEC中，
∠AFE=∠ECD∠AEF=∠DECAE=ED，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF＝DC，
∵AF＝BD，
∴BD＝CD；
（2）解：①当AB＝AC时，四边形AFBD为矩形，
证明如下：
∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形AFBD为平行四边形，
∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDA＝90°，
∴四边形AFBD为矩形；
②当∠BAC＝90°时，四边形AFBD是菱形．
证明：由①知四边形AFBD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，BD＝DC，
∴AD＝BD＝DC，
∴四边形AFBD是菱形．
27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点B作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OBEC是矩形．
（2）若BE=23，CE＝2，求菱形ABCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，BE∥AC，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴四边形OBEC是矩形；
（2）解：∵四边形OBEC是矩形，
∴OC＝BE，OB＝CE，
∵BE=23，CE＝2，
∴OC＝23，CE＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=43，BD＝2OB＝4，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×43×4=83．
28．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）连接EF，若AD＝18，AB＝12，AE＝5，求EF的长．
【答案】（1）在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）EF=413．
【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴DE＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：过点E作EH⊥BC于点H，如图所示，
∴∠EHB＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝18，AB＝12，AE＝5，
∴BC＝AD＝18，CF＝AE＝5，∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠EHB＝∠A＝∠ABC＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝12，BH＝AE＝5，
∴HF＝CB﹣CF﹣BH＝18﹣5﹣5＝8，
在Rt△EFH中，由勾股定理得EF=EH2+HF2=122+82=413．
29．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点E为AC的中点，在△AFC中，∠AFC＝90°，连接BE，BF，EF，若∠ACB＝50°，∠ECF＝24°，则∠EFB的度数为（ ）
A．14°B．16°C．18°D．20°
【答案】B
【解答】解：∵∠ABC＝90°，点E为AC的中点，
∴EB＝EC=12AC，
∴∠ECB＝∠EBC＝50°，
∵∠AEB是△EBC的一个外角，
∴∠AEB＝∠EBC+∠ECB＝100°，
∵∠AFC＝90°，点E为AC的中点，
∴EF＝EC=12AC，
∴∠EFC＝∠ECF＝24°，
∵∠AEF是△ECF的一个外角，
∴∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝48°，
∴∠BEF＝∠AEB+∠AEF＝148°，
∵BE=12AC，EF=12AC，
∴BE＝EF，
∴∠EFB＝∠EBF=180°−∠BEF2=16°，
故选：B．
30．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，C为圆心，AD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点E，连接AE，CE，过点D作DF⊥CE于点F．若AB＝6，AC＝8，则DF的长为（ ）
A．125B．4C．245D．5
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝CD，
AE＝EC＝AD，AE＝EC＝AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
如图，过点A作AH⊥BC于点H，
∵AB＝6，AC＝8，
∴BC＝10，
∴AH=6×810=245．
∵△AHD≌△DFC，
∵AD⊥DF，
∴∠ADH+∠FDC＝90°，
∵AH⊥BD，
∴∠ADH+∠DAH＝90°，
∴∠FDC＝∠DAH，
∵∠AHD＝∠DFC＝90°，
∵AD＝DF，
∴△AHD≌△DFC，
∴DF＝AH=245．
故选：C．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是三角形的中线，CE是三角形的一条内角平分线，若∠A＝65°，那么∠CED的度数是 ．
【答案】110°．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE=12∠ACB＝45°，
∴∠CED＝∠A+∠ACE＝65°+45°＝110°．
故答案为：110°．
32．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是 ．
【答案】13
【解答】解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，BC＝8，
∴在Rt△BCE中，EM=12BC＝4，
在Rt△BCF中，FM=12BC＝4，
又∵EF＝5，
∴△EFM的周长＝EM+FM+EF＝4+4+5＝13．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，通过尺规作图得到的直线MN分别交AB，AC于D，E，连接CD．若CE=13AE＝2，则CD＝ ．
【答案】6．
【解答】解：如图，连接BE，
∵CE=13AE＝2，
∴AE＝6，AC＝8，
而根据作图可知MN为AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝6，
在Rt△ECB中，BC=BE2−CE2=42，
∴AB=AC2+BC2=46，
∵CD为直角三角形ABC斜边上的中线，
∴CD=12AB＝26．
故答案为：26．
34．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC是斜边AB上的中线，AB＝8，则OC的长是 ．
【答案】4
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OC是斜边AB上的中线，AB＝8，
∴OC=12AB＝4，
故答案为：4．
35．直角三角形斜边的中线长是4cm，则它的两条直角边中点的连线长为 cm．
【答案】4
【解答】解：因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
所以斜边的长为2×4＝8cm，
所以它的两条直角边中点的连线长为12×8＝4cm．
故答案为：4．
题型1 矩形的性质
题型2 矩形的判定
题型3 矩形的判定与性质
题型4 直角三角形斜边上的中线
解｜题｜知｜识
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解｜题｜知｜识
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
解｜题｜知｜识
（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．
（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．
解｜题｜知｜识
（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形．