初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定课前预习课件ppt

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图中的四边形都是特殊的平行四边形. 观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
你能总结出正方形的定义吗？
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
（1）正方形是矩形吗？是菱形吗？（2）你认为正方形具有哪些性质？与同伴交流.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
AB = BC = CD = DA
∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°
AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
正方形有 4 条对称轴.
例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF, 且 BE⊥DF. 理由如下：
（1）∵四边形 ABCD 是正方形.∴BC = DC,∠BCE = 90°（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）.∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°-90°= 90°.∴∠BCE =∠DCF.又∵CE = CF.∴△BCE≌△DCF. ∴BE = DF.
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
（2）延长 BE 交 DF 于点 M.∵△BCE ≌ △DCF.∴∠CBE = ∠CDF.∵∠DCF = 90°.∴∠CDF +∠F = 90°.∴∠CBE +∠F = 90°.∴∠BMF = 90°.∴BE ⊥ DF.
如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？
【选自教材P21 随堂练习】
解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点， 连接 BF, DF。你能找出图中的全等三角形吗？选择其 中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，分别是 △ADC 与 △ABC,△FCD与 △FCB,△FAD 与 △FAB．
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：∵正方形 ABCD,∴AD = AB,∠DAF =∠BAF,又∵AF = AF，∴△FAD≌△FAB.
【选自教材P22 习题1.7 第1题】
3. 对角线长为 2 cm 的正方形，边长是多少？
解：∵ABCD 是正方形，∴AB = BC，∠B = 90°△ABC是等腰直角三角形，AB2 + BC2 = AC2 = 4，∴AB =
【选自教材P22 习题1.7 第2题】
4. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△CBE 是等边三角形， 求∠AEB 的度数.
证明: ∵△BEC 是等边三角形，∴BE = EC = BC = AB，∴△ABE 是等腰三角形，∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °∴∠AEB = = 75 °
【选自教材P22 习题1.7 第3题】
5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四 个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC. 证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
证明: 如图, AQ 与 BP 交于点 O．在正方形 ABCD 中,∵PD ＝ QC, ∴DQ ＝ AP ．又∵AB ＝ AD ,∠D ＝∠PAB ＝ 90°,∴△ABP ≌△DAQ．∴BP ＝AQ,∠DAQ＝∠ABP ．∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB．∴∠AOP ＝90°．∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
6. 在一个正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条 直的小路将花坛分成大小、形状完全相同的四部分（不考 虑道路的宽度）.你有几种方法？
【选自教材P22 习题1.7 第4题】