初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）2 菱形的性质与判定优质导学案

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考 点 演 练
题型1 菱形的性质
【典例1】如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，OE=33，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．93B．183C．363D．9
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝3，OE=33，
∴BD＝2OB＝6，AO＝CO，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴AC=2OE=63，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×63×6=183，
故选：B．
【变式1】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB＝6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）
A．4B．4.5C．5D．5.5
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD=12BD，BD⊥AC，
∴BD＝2OB＝12，
∵S菱形ABCD=12AC•BD＝54，
∴AC＝9，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE=12AC＝4.5，
故选：B．
【变式2】如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上．已知AC＝6，BD＝8，则点D的坐标为（ ）
A．（5，9.6）B．（5，4.8）C．（10，9.6）D．（10，4.8）
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24，
∴BC•AO＝24，
∴BC2=(12AC)2+(12BD)2=(12×6)2+(12×8)2=52，
∴BC＝AD＝5，
∴AO=24BC=245=4.8，
∴点D的坐标（5，4.8）；
故选：B．
【变式3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠BCD＝66°，则∠BOE的大小为（ ）
A．33度B．34度C．57度D．67度
【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∠BCD＝66°，
∴∠ABD＝∠CBD，AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∠BCO=12∠BCD=33°，
∴∠ABO＝∠CBO＝90°﹣∠BCO＝90°﹣33°＝57°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°﹣∠OBE＝33°，
故选：A．
题型2 菱形的判定
【典例1】下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故A不符合题意；
根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，
故B不符合题意；
一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，
故C符合题意；
根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，
故D不符合题意；
故选：C．
【变式1】如图，△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，要判定四边形DFCE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB＝ACB．AE＝CE
C．CD⊥ABD．CD平分∠ACB
【答案】D
【解答】解：当CD平分∠ACB时，四边形DECF是菱形，
理由：∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴ED＝EC，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵DE＝EC，
∴四边形DECF是菱形．
其余选项均无法判断四边形DECF是菱形，
故选：D．
【变式2】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（ ）
A．度量四个内角是否相等
B．测量两条对角线是否相等
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合
【答案】D
【解答】解：A、四个内角是否相等，只能判定矩形，不能判定菱形，故选项A不符合题意；
B、对角线是否相等不能判定形状，故选项B不符合题意；
C、两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等只能判定矩形，不能判定菱形，故选项C不符合题意；
D、将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合，能判定菱形，故选项D符合题意．
故选：D．
【变式3】如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是（ ）
A．∠BAC＝∠BCAB．∠ABD＝∠CBD
C．OA2+OB2＝AD2D．AD2+OA2＝OD2
【答案】D
【解答】解：A、∵∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC，
∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∵OA2+OB2＝AD2，
∴OA2+OD2＝AD2，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意，
D、∵AD2+OA2＝OD2，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥AD，
∴不能证得▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
题型3 菱形的判定与性质
【典例1】如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．233
【答案】D
【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，
根据题意得：AD∥BC，AB∥CD，BE＝BF＝1cm，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AB＝2AE，BC＝2CF，
∵AB2＝AE2+BE2，
∴AB=233，
同理：BC=233，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD=233，
∴S菱形ABCD＝AD•BE=233．
故选：D．
【变式1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC＝4，则四边形CODE的周长是 ．
【答案】8
【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=12AC＝2，OD=12BD，AC＝BD，
∴OC＝OD＝2，
∴四边形CODE是菱形，
∴DE＝CE＝OC＝OD＝2，
∴四边形CODE的周长＝2×4＝8；
故答案为：8．
【变式2】（如图所示）两个长宽分别为7cm、3cm的矩形如图叠放在一起，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】877cm2
【解答】解：如图：根据题意得：AD∥BC，BF∥DE，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等高，
即DH＝AB，
∴S▱BEDF＝BE•AB＝BF•DH，
∴BE＝BF，
∴四边形BEDF是菱形，
∴BF＝DF，
设BF＝xcm，则DF＝xcm，AF＝AD﹣DF＝7﹣x（cm），
在Rt△ABF中，AB2+AF2＝BF2，
∴32+（7﹣x）2＝x2，
解得：x=297，
∴BE=297cm，
∴S菱形BEDF＝BE•AB=877cm2．
故答案为：877cm2．
【变式3】如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点D作DP∥AC，过点C作CP∥BD，DP、CP交于点P，连接OP．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AC＝12，BD＝16，求OP的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，
∴AC⊥BD，OD=12BD=8，OC=12AC＝6，
∴CD=OD2+OC2=10，
∵DP∥AC，CP∥BD，
∴四边形OCPD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCPD是矩形，
∴OP＝CD＝10．
过 关 验 收
1．如图①，将一个菱形截去一个边长为原来一半的菱形得到图②，用三个图②刚好拼出一个如图③所示的平面图形，则图③中∠ABC的度数是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解答】解：如图，
∵∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠DAE+∠BAE+∠BAD＝360°，
∴∠BAD＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣120°＝60°，
故选：C．
2．如图，菱形OABC在平面直角坐标系中，∠AOC=45°，OC=2，则点B的坐标为（ ）
A．(2，1)B．(1，2)C．(2+1，1)D．(1，2+1)
【答案】C
【解答】解：如图，作BD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，
∴OA=AB=OC=2，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝45°，
∴∠ABD＝45°＝∠BAD，
∴AD＝BD，
∴AB=AD2+BD2=2AD=2，
解得，AD＝BD＝1，
∴B(2+1，1)，
故选：C．
3．如图，菱形ABCD的面积为20cm2，对角线BD长5cm，点O为BD的中点，过点A作AE垂直于CB交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（ ）
A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，点O是AC的中点，
∵BD＝5cm，S菱形ABCD=12AC×BD=20cm2，
∴AC＝8cm，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE=12AC=4cm．
故选：B．
4．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠B＝40°，则∠EAF的度数为（ ）
A．50°B．42°C．40°D．30°
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝40°，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴∠EAF+∠C＝360°﹣∠AEC﹣∠AFC＝180°，
∴∠EAF＝∠B＝40°，
故选：C．
5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为323，则CD的长为（ ）
A．4B．43C．8D．83
【答案】C
【解答】解：∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OC＝OA=12AC，AC⊥BD，
∴OH＝OB＝OD=12BD（直角三角形斜边上中线等于斜边的一半），
∴OD＝4，BD＝8，
由12AC⋅BD=323得，
12×8⋅AC=323，
∴AC＝83，
∴OC=12AC=43，
∴CD=OC2+OD2=8，
故选C．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC上，OF＝1．连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为（ ）
A．5B．13C．10D．13
【答案】D
【解答】解：如图，取OE中点H，连接GH，
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，
∴OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥BD，
∴∠BOA＝90°，
∵AE＝2，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
∴OH=12OE=1，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH=12OB=3，GH∥OB，
∴∠GHE＝∠BOA＝90°，
∵OF＝1，
∴HF＝OH+OF＝2，
∴GF2＝GH2+HF2＝32+22＝13，
∴GF=13（负值舍去），
故选：D．
7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝ ．
【答案】245．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，
∵AC＝6，DB＝8，
∴OC＝3，OB＝4，
∴BC=OB2+OC2=9+16=5，
∵S菱形ABCD=12×AC×BD＝BC×AE，
∴AE=6×82×5=245，
故答案为：245．
8．如图，在▱ABCD中，AB＝13，AC＝10，当BD＝ 时，四边形ABCD是菱形．
【答案】24．
【解答】解：AC交BD于点O，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC=5，OB=OD，AC⊥BD，
由勾股定理可得，OB=AB2−OA2=132−52=12，
∴BD＝2OB＝24，
故答案为：24．
9．如图，在菱形ABCD中，M为CD的中点，AM的延长线与BC的延长线交于点E，F为DC延长线上一点，且CF＝CD．
（1）求证：△CME≌△DMA；
（2）试判断四边形BDEF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解析；
（2）矩形，证明见解析．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠ECM＝∠ADM，
∵M为CD的中点，
∴CM＝DM，
在△CME和△DMA中，
∠ECM=∠ADMCM=DM∠CME=∠DMA，
∴△CME≌△DMA（ASA）；
（2）解：四边形BDEF是矩形，证明如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝CD，
由（1）可知，△CME≌△DMA，
∴CE＝AD，
∴CE＝BC，
∵CF＝CD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵CD＝BC，
∴DF＝BE，
∴平行四边形BDEF是矩形．
10．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相互垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．BA＝BCB．AC，BD相互平分
C．AC＝BDD．AB∥CD
【答案】B
【解答】解：A、根据已知AC⊥BD和BA＝BC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；
B、∵AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD（已知），
∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确；
C、根据已知AC⊥BD和AC＝BD不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；
D、根据已知AC⊥BD和AB∥DC不能推出四边形ABCD是平行四边形，即更不是菱形，故本选项错误；
故选：B．
11．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，CE∥FD，CD＝AB＝4，
∵将线段AB水平向右平得到线段EF，
∴AB∥EF∥CD，
∴四边形ECDF为平行四边形，
当CD＝CE＝4时，▱ECDF为菱形，
此时a＝BE＝BC﹣CE＝6﹣4＝2．
故选：B．
12．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形（ ）
A．AB＝CDB．AB∥CDC．AC＝BDD．AD＝BC
【答案】A
【解答】解：当AB＝CD时，四边形EGFH是菱形．理由如下：
∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG∥AB，EG=12AB，
同理HF∥AB，HF=12AB，EH∥CD，EH=12CD，
∴EG∥HF，EG＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
又∵AB＝CD，
∴EG＝EH，
∴平行四边形EGFH是菱形．
故选：A．
13．如图，AE∥BF，BD平分∠ABF，且交AE于点D，过点D作DC∥AB交BF于点C．求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵AE∥BF，DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
14．如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，∠BAD，∠BCD的平分线分别与BC，AD相交于点E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与BC满足什么数量关系时，四边形AECF为菱形？请说明理由．
【答案】（1）见解答；
（2）当 AB=12BC 时，四边形AECF为菱形，见解答．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝∠D，
∵∠B＝60°，
∴∠D＝∠B＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
由题意可知：
∠BAE=∠EAF=12∠BAD=60°，∠BCF=∠FCD=12∠BCD=60°，
∴∠BAE＝∠FCD，
∴△ABE≌△CDF；
（2）解：当 AB=12BC 时，四边形AECF为菱形，
由题意可知：AD∥BC，
由（1）得结论可知：
∴∠D＝∠B＝600，∠BAE＝∠FCD＝60°，
∴△ABE和△CDF都是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，
∴∠BEA＝∠BCF＝60°，
∴AE∥CF，
∴AECF为平行四边形，
又 AB=12BC，
BE=12BC，
∴E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∴AE＝CE，
∴平行四边形AECF是菱形．
15．已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点；过点A作AF∥BC，交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD；
（2）当△ABC满足 时，四边形ADCF是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠BAC＝90°，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠EBD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴△AEF≌△DEF（AAS），
∴AF＝BD；
（2）解：△ABC满足：∠BAC＝90°时，四边形BDAF为菱形，
理由如下：
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴AD＝DC，
由（1）知四边形BDAF为平行四边形，
∴▱BDAF为菱形．
故答案为：∠BAC＝90°．
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，点E、F在AC上，且CE＝AF．连接BE、BF、DE、DF．求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】证明见解析过程．
【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，AO＝CO，
∵CE＝AF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴AB＝AD，
在△ABF和△ADF中，
AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴BF＝DF，
∴四边形BEDF是菱形．
17．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）当边AB、AC满足什么条件时，四边形BECF是菱形？并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD＝CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD＝∠BED，
在△CFD和△BED中，
∠CFD=∠BED CD=BD ∠FDC=∠EDB ，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF＝BE，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）解：当AB＝AC时，四边形BECF是菱形；理由如下：
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．
18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．
（1）求证：BD＝AF；
（2）判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，∠AFE=∠DBE ∠FEA=∠BED AE=DE ，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴BD＝AF；
（2）解：四边形ADCF是菱形；理由如下：
由（1）知，AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形．
19．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点C作CF∥BD交BE的延长线于F，连接DF．
（1）求证：△FCE≌△BOE；
（2）当△ADC满足什么条件时，四边形OCFD为菱形？请说明理由．
【答案】（1）见解析；
（2）当∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形，理由见解析．
【解答】（1）证明：∵CF∥BD，
∴∠CFE＝∠OBE，
∵E为OC中点，
∴OE＝CE，
在△FCE和△BOE中，
∠CFE=∠OBE∠CEF=∠OEBOE=CE，
∴△FCE≌△BOE（AAS）；
（2）解：当∠ADC＝90°时，四边形OCFD为菱形，
理由如下：
由（1）可得：△FCE≌△BOE，
∴CF＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，OA＝OC，
∴CF＝OD，
∵CF∥BD，
∴四边形OCFD为平行四边形，
∵∠ADC＝90°，OA＝OC，
∴OD＝OC，
∴四边形OCFD为菱形．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=10，BD＝2，求OE的长度．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∴OB=12BD＝1，
∵CE⊥AB，
∴OE=12AC=OA，
在Rt△AOB中，AO=AB2−OB2=3，
∴OE＝AO＝3，
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＜BC，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，延长ED至F，使DF＝DE，连接AE，AF，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若BE＝1，EC＝4，求EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵DF＝DE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵DE⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）知四边形AECF是菱形，
∴AE＝CE＝4，
∵BE＝1，EC＝4，
在Rt△ABE中，AB=AE2−BE2=42−12=15，
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=15+25=210，
∵S菱形AECF=12EF⋅AC=AB⋅EC，
即12EF⋅210=15×4，
∴EF=26．
22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且BC＝2DE．
又∵BE＝2DE，EF＝BE，
∴EF＝BC，EF∥BC．
∴四边形BCFE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
又∵BE＝FE，
∴四边形BCFE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
（2）解：在菱形BCFE中，∠BCF＝∠BEF＝120°，BE＝BC，
∴∠EBC＝60°．
∴△EBC是等边三角形．
∴BE＝BC＝CE＝4．
过点E作EG⊥BC于点G．
∴BG＝2．
∴EG=BE2−BG2=23．
∴S菱形BCFE＝BC•EG＝4×23=83．
23．如图，平行四边形ABCD，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：四边形CDMN是菱形；
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P．若PE＝1，∠1＝∠2，求AN的长．
【答案】（1）见解析；（2）23．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，
∴MD=12AD=MN，CN=12BC，则MD＝CN，
又∵MD∥CN，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∵MD＝MN，
∴四边形CDMN是菱形；
（2）解：由（1）可知：四边形CDMN是菱形；则MD＝MN，
∴∠MND＝∠DNC，
∵∠1＝∠2，
∴∠MND＝∠1＝∠2，
∵CE⊥MN，∠MND+∠DNC+∠2＝90°，
∴∠MND＝∠DNC＝∠2＝30°，
∵PE＝1，∠ENP＝30°，
∴PN＝2PE＝2，
∴EN=22−123，
在Rt△NEC中，
∵EN=3，∠2＝30°，
∴NC=2EN=23，
∵∠MNC＝∠MND+∠DNC＝60°，
∴△MNC为等边三角形，
∵∠AND＝90°，M为AD的中点，
∴MN=12AD=AM，
∴△AMN是等边三角形，
∴AN＝MC＝NC＝23，
∴AN的长为23．
24．如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）45．
【解答】（1）证明：∵AB＝CB，BD平分∠ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，
∵DE＝DF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，
∴AD=12AC＝2，DE=12EF＝1，AE＝CE＝CF＝AF，∠ADE＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=AD2+DE2=22+12=5，
∴四边形AECF的周长为：4AE＝4×5=45．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，∠DCB＝∠DBC，连接CD，E为CD中点，连接BE并延长到F使BE＝EF，连接AF，CF．
（1）求证：四边形AFCD为菱形；
（2）若AC＝6cm，AB＝8cm，求四边形AFCD的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠DCB＝∠DBC，
∴∠ACD＝∠CAB，CD＝BD，
∴AD＝CD，
∴AD＝CD＝BD，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE，
又∵BE＝EF，∠CEF＝∠DEB，
∴△CEF≌△DEB（SAS），
∴CF＝BD，∠CFE＝∠DBE，
∴CF∥BD，
∵AD＝BD，
∴CF＝AD，
∴四边形AFCD为平行四边形，
又∵CD＝AD，
∴四边形AFCD为菱形；
（2）解：∵AC＝6cm，AB＝8cm，∠ACB＝90°，
∴BC=AB2−AC2=82−62=27（cm），
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×6×27=67（cm2），
∴S△ADC=12S△ABC=37cm2，
∴四边形AFCD的面积＝2S△ADC＝67cm2．
26．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：四边形BEDF是菱形．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）证明见解析过程．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠BAE=∠DCFAE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）如图，连接BD，交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
又∵BD⊥EF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
27．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．
（1）求证：四边形BFDE是菱形；
（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB．
∴∠ABD＝∠EDB．
∴EB＝ED．
∴平行四边形BFDE是菱形；
（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，
∴∠ADE＝90°．
设BF＝x，
∴DE＝BE＝x．
∴AE＝8﹣x．
在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2
∴（8﹣x）2＝x2+42
解得x＝3，
∴BF＝3．
题型1 菱形的性质
题型2 菱形的判定
题型3 菱形的判定与性质
解｜题｜知｜识
（1）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（2）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积=12ab．（a、b是两条对角线的长度）
解｜题｜知｜识
①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；
②四条边都相等的四边形是菱形．
几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形
解｜题｜知｜识
（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．
（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．
（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．