初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定教学课件ppt

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定教学课件ppt，共31页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，垂直平分，平分一组对角，中心对称，轴对称，情境引入，新知探究，几何语言，定义法等内容，欢迎下载使用。
1.掌握正方形的判定定理，并解决相关问题;（重点）2.熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断;（难点）3.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
1.正方形的定义：有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形.
2.正方形的性质：（1）正方形的四个角都是 ；（2）正方形的四条边 ；（3）正方形的对角线 ，互相 ，且每条对角线 .
3.正方形的对称性：正方形即是 图形，也是 图形，它有 条对称轴.
提示：只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形.
你能说出你的理由吗？如何判定一个四边形是正方形呢？
探究一：正方形的判定
类比平行四边形、矩形和菱形,正方形的定义也是判定正方形的一种方法.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形;对角线互相垂直的矩形是正方形;
有一个角是直角的菱形是正方形；对角线相等的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴进行交流.
1.求证：有一组邻边相等的矩形是正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
证明: ∵四边形ABCD是矩形,∴AC平分BD.∵AC⊥BD,∴AC垂直平分BD,∴AB=AD.∴矩形ABCD是正方形(一组邻边相等的矩形是正方形).
2.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.求证：有一个角是直角的菱形是正方形.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是平行四边形且AB=BC.∵∠A=90°,∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义).
4.求证：对角线相等的菱形是正方形.
证明: ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC.∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC,∴∠DAB=∠CBA.∵AD∥BC,∴∠DAB+∠CBA=180°,∴∠DAB=∠CBA=90°,∴四边形ABCD是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.
定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形.
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形.
几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形.
定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
定理4：对角线相等的菱形是正方形.
几何语言：∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=90°, ∴四边形ABCD是正方形.
几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形.
AB=AD(答案不唯一)
①依次连接正方形各边的中点得到的是正方形。
证明方法提示：连接正方形 ABCD 的对角线 AC 和 BD。​利用三角形的中位线定理证明.方法不唯一.
已知:在矩形 ABCD中,点A1,B1,C1,D1分别为 AB, BC, CD, DA 边的中点,如图所示。求证:四边形 A1B1C1D1是菱形。
(答案不唯一)以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形.
(2)类比上述两个问题，你还能提出什么问题?你能解决它们吗?与同伴进行交流。
证明:如图所示，连接AC, BD交于点O.∵点A1,B1,C1,D1分别为AB,BC,CD,DA边的中点，∴A1B1=C1D1，A1B1∥C1D1,∴四边形 A1B1C1D1是平行四边形。∵A1B1∥AC，A1D1∥BD，AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，即∠B1A1D1=90°.∴A1B1C1D1是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形).
以四边形各边的中点为顶点的新四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关。①若原四边形的两条对角线相等,则以四边形各边中点为顶点的新四边形为菱形;②若原四边形的两条对角线互相垂直,则以四边形各边中点为顶点的新四边形为矩形;③若原四边形的两条对角线既相等又互相垂直,则以四边形各边中点为顶点的新四边形为正方形。
(3)在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律?请说明理由。
决定中点四边形的形状的是原四边形两条对角线的位置关系和数量关系。
答案不唯一，类比学习，从边、角、对角线等方面探究，特殊平行四边形具有一般平行四边形的一切性质。经验：在探究问题的过程中获得对证明思路方法的总结。
证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ADE=90°,∴∠ABF+∠AFB=90°.∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,∴∠ABF=∠DAE.
在△ABF和△DAE中,∵∠ABF=∠DAE,∠BAF=∠ADE=90°,BF=AE,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴AB=AD,∴矩形ABCD是正方形.
1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）A．选①②   B．选②③   C．选①③   D．选②④
AC=BD或AB⊥BC
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB=∠DFB=90°，又∵∠ABC=90°，∴四边形BEDF为矩形，∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE=DF，∴矩形BEDF为正方形．
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°，∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．
正方形的判定方法:定义法
有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.
1.必做题：习题1.4第3，5题。2.探究性作业：习题1.4第9，10题。