北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定背景图课件ppt

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正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形.
正方形的四个角都是直角，四条边相等.
将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？
提示：剪口线与折痕成 45°角即可。
如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？
判断四边形是正方形有哪些方法？
1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法）
2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等.
3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角.
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，又∵AB = BC，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是矩形，∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD又∵AC ⊥ BD，∴△AOB ≌ △AOD（SAS）∴AB = AD∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：有一个角是直角的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，又∵∠A = 90° ，∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
定理：对角线相等的菱形是正方形.
已知：ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，ABCD 是正方形.
证明：∵ABCD 是菱形，∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC = BD ，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC = 90°.∴ABCD 是正方形（正方形的定义）.
例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形 BECF 是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）.在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 90°.∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线，①若∠BEF = 30°，则∠A =______. ②若 EF = 8 cm, 则 AC =______.
你还记得三角形的中位线定理吗？
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
任意四边形的中点四边形 是平行四边形.
如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
1.平行四边形的中点四边形会是什么形状？
平行四边形的中点四边形是平行四边形.
你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）
矩形的中点四边形会是什么形状？
矩形的中点四边形是菱形.
你能试着证明这个结论吗？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形.
菱形的中点四边形会是什么形状？
菱形的中点四边形是矩形.
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形.
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1 = 90°，∠2=90°.∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义）.
正方形的中点四边形会是什么形状？
已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形.
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°.∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°.∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系.
1.（教材P25习题1.8第2题）已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形.
证明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF,易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ,即 CE ＝AE ＝AF ＝FC,∴四边形 AECF 是菱形．
2.（教材P25 习题1.8 第3题）如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形 EFGH 是正方形.∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,即EH ＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH ．∵∠DGH ＋∠DHG＝90°,∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,∴四边形 EFGH 是正方形
3. （教材P25 习题1.8 第4题）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论.
4.在正方形ABCD中，动点 E 在AC上，AF⊥AC，垂足为 A，AF=AE.（1）求证：BF=DE.（2）当点 E 运动到 AC 的中点时，说明四边形AFBE是正方形.
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD，∠BAD=90〫.
∵AF⊥AC , ∴∠BAF+∠BAE=90〫.
∵∠BAE+∠DAE=90〫,
∵ AD=AB， ∠DAE=∠BAF， AE=AF,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴ BF=DE.
∴∠BAF=∠DAE.
（2）∵点E运动到AC的中点，AB=BC.
∵AF=AE,∴ BE=AF=AE,
又∵BE⊥AC ，∠FAE=∠BEC=90〫,
∴四边形AFBE是平行四边形.
∵∠FAE=90〫，AE=AF,
∴四边形AFBE是正方形.