初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定第1课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定第1课时教案设计，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.了解正方形与菱形、矩形、平行四边形之间的关系.
2.探索并证明正方形的性质定理，进一步发展推理能力.
3.会用正方形的性质进行有关的证明与计算.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.

二、教学重难点
重点：理解并掌握正方形的性质定理.
难点：探究证明正方形的性质定理.

三、教学过程
情境导入
问题：还记得正方形的定义吗？
预设答案：一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形.
追问：正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？
设计意图：通过回顾正方形的定义，引出正方形与菱形、矩形的关系，引导学生思考正方形的特殊性.
探究新知
活动：正方形的性质定理
想一想：(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
预设答案：正方形既是矩形，也是菱形.
设计意图：引导学生思考正方形与菱形、矩形的关系，从而得出正方形的性质.
(2)你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流.
预设答案：正方形的性质包括菱形的性质和矩形的性质，菱形和矩形都具有平行四边形的性质，平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分;菱形特有的性质：对角线互相垂直，四边相等；矩形特有的性质：对角线相等，四个角是直角.
追问：你能对上面的性质进行概括吗？
预设答案：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
正方形的对角线相等并且互相垂直平分.
设计意图：通过说出平行四边形、菱形、矩形的性质，概括得出正方形的两个性质.
追问：你能证明这两个性质吗？
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：∠BAD=∠ABC =∠BCD=∠ADC = 90°，AB= BC=CD=AD.AC⊥BD，AC=BD，OA=OB=OC=OD.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠BAD=90°， AB=AD (正方形的定义).
又∵正方形ABCD是平行四边形.
∴正方形ABCD是矩形(矩形的定义)，
正方形ABCD是菱形(菱形的定义).
∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD，OA=OB=OC=OD，AB=BC=CD=AD，AC⊥BD.
总结：正方形的性质定理：
定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
几何语言：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，AC=BD，AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
设计意图：通过归纳进一步熟悉正方形的性质，培养归纳概括能力.
议一议：如图，四边形ABCD是正方形.
(1)在正方形中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由.
预设答案：连接对角线AC、DB交于点O.
条件：另外两个顶点在正方形对角线BD上，且关于对角线AC对称.
理由：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，因此四边形AMCN是菱形.
(2)在正方形中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件？试一试，并与同伴交流你画图的理由.
预设答案：连接对角线AC、DB交于点O.
条件：点E与点G、点F与点H关于点O对称，且这四个顶点到正方形中心点的距离相等.
理由：对角线相等的平行四边形是矩形，因此EFGH为矩形.
设计意图：利用正方形的性质进行作图，进一步理解正方形的性质，并熟悉矩形、菱形的判定定理，进一步提高应用能力.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
【教材例题】
例1：如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
分析：由正方形的性质可得，BC=CD，∠BCE=90°，从而∠DCF=90°.由CE = CF，可证△BCE≌△DCF.从而得证BE = DF.延长 BE 交 DF 于点 M.由(1)知△BCE ≌ △DCF，得到∠CBE = ∠CDF，再由∠CDF与∠F互余，可得∠CBE与∠F互余，最后得证BE ⊥ DF.
解：BE = DF， 且 BE⊥DF. 理由如下：
(1)∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC，∠BCE = 90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角).
∴∠DCF = 180°−∠BCE =180°−90°= 90°.
∴∠BCE =∠DCF.
又∵CE = CF.
∴△BCE≌△DCF.
∴BE = DF.
(2)延长BE交DF于点M.
∵△BCE ≌ △DCF.
∴∠CBE = ∠CDF.
∵∠DCF = 90°.
∴∠CDF +∠F = 90°.
∴∠CBE +∠F = 90°.
∴∠BMF = 90°.
∴BE ⊥ DF.
设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对正方形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为对角线 AC 上一点，连接 BF， DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对，
分别是 △ADC 与 △ABC，
△FCD与 △FCB，△FAD 与 △FAB．
选择△FAD≌△FAB 证明，过程如下：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴AD = AB，∠DAF =∠BAF，
又∵AF = AF，
∴△FAD≌△FAB.
2.如图，在菱形ABCD中，将A，C两点沿对角线AC分别移动到A'，C'的位置，得到正方形A'BC'D.已知菱形ABCD的面积为120cm²，正方形A'BC'D的面积为50cm²，求AC的长.
解：连接BD交A′C′于点O.
∵正方形A'BC'D的面积为50cm²，
∴C′B²=50，解得C′B=52.
由正方形的性质可得A'C'⊥BD，BO=OC′.
由勾股定理得：BO²+C′O²=C′B²，∴BO=5.
∴BD=2BO=10.
∵菱形的面积为120cm²，
∴12×AC×BD=120，即12×AC×10=120.
解得AC=24cm.
∴AC的长为24cm.
【自选练习】
3.如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形？
解：图中共有 8 个等腰三角形.
△OAB、△OBC、△OCD、△ODA、△ABC、△BCD、△CDA、△DAB.
4.如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上.仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC.证明两条直路 BP = AQ 且 BP⊥AQ.
证明: 如图， AQ 与 BP 交于点 O．
在正方形 ABCD 中，
∵PD=QC， ∴AP=DQ ．
又∵AB=AD ，∠PAB=∠D=90°，
∴△ABP ≌△DAQ．
∴BP=AQ，∠DAQ=∠ABP ．
∵∠ABP+∠APB＝90°＝∠DAQ+∠APB．
∴∠AOP=90°．
∴BP=AQ 且 BP⊥ AQ．
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.正方形的性质定理有哪些？
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.