初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定获奖ppt课件

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定获奖ppt课件，共35页。PPT课件主要包含了平行四边形，四边形，三个角是直角，四条边相等，四个判定定理，对角线相等，对角线垂直，正方形，一组邻边相等，对角线互相垂直等内容，欢迎下载使用。
1. 用类比方法归纳正方形的判定方法，培养学生的数学表达能力.2. 探究并证明正方形的判定定理.(重点)3.灵活运用正方形的判定方法进行证明或计算，发展学生的逻辑思维能力.(难点)
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角； ②四条边都相等； ③对角线相等且互相垂直平分.
问题2 你是如何判定矩形、菱形的？
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
猜想：满足怎样条件的矩形是正方形？
探究点1: 正方形的判定
已知：如图,在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角 线，AC⊥DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线互相垂直的矩形是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.∵ AC⊥DB，∴ AD = AB = BC = CD.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
猜想：满足怎样条件的菱形是正方形？
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.求证：四边形 ABCD 是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.∵ AC = DB，∴ AO = BO = CO = DO.∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.∴ 四边形 ABCD 是正方形.
常用的正方形判定方法：
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
探究点: 正方形的判定
正方形判定的几条途径：
1.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CDB．AD∥BC，∠BAD =∠BCDC．AO = BO = CO = DO，AC⊥BDD．AO = CO，BO = DO，AB = BC
例1 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形 BECF 是正方形.
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形 BECF 是平行四边形.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°.
∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC.∴□ BECF 是菱形(菱形的定义).在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°，∴∠BEC = 180° -∠EBC - ∠ECB= 180° - 2×45° = 90°。∴菱形 BECF 是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。
又∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°.
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC =∠DFC = 90°.又∵∠C = 90°，∴ 四边形 CEDF 是矩形.过点 D 作 DG⊥AB 于点 G.∵ AD 是∠CAB 的平分线，∴ DE = DG. 同理，DG = DF，∴ DE = DF.∴ 四边形 CEDF 为正方形.
【练一练】2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A、∠B 的平分线交于点 D，DE⊥AC 于点 E，DF⊥BC 于点 F. 求证：四边形 CEDF 为正方形.
如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？
E，H 分别是 AB，BC 中点
EH = FG，EH∥FG
四边形 EHGF 是平行四边形
探究点2: 中点四边形问题
【做一做】如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？
拓展1 如图，顺次连接平行四边形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC、BD.
∵ 点 E、F、G、H 为各边中点，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ EF = GH = FG = EH.
∴ 四边形 EFGH 是菱形.
拓展2 如图，顺次连接矩形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
解：连接 AC，BD. ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD.∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形 EFGH 为平行四边形.又∵四边形 ABCD 是菱形∴AC⊥BD，∴∠AOB = 90°. ∴∠HEF = 90°.∴四边形 EFGH 是矩形.
拓展3 如图，顺次连接菱形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
证明：连接 AC，BD，∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点，∴ EF∥AC 且EF = AC，同理可证 HG∥AC 且 HG = AC，EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD 且 FG = BD.∴四边形 EFGH 为平行四边形.
拓展4 如图，顺次连接正方形 ABCD 各边中点，得到的四边形 EFGH 是什么四边形？
又∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC = BD，AC⊥BD.∴EF = FG = HG = EH，∠DOC = 90°.∴四边形 EFGH 是菱形，∠EFG = 90°.∴四边形 EFGH 为正方形.
思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？
决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系.
知识点1 在菱形或矩形的基础上判定正方形
知识点2 在四边形或平行四边形的基础上判定正方形