初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高精品随堂练习题

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本课核心问题
怎样把“够不着的高度”变成“量得到、算得出、能复核”的数据？
一、学习目标
1. 能选择合适器材，完整说明影长法或标杆视线法成立的几何条件，并画出自设测量示意结构。
2. 能根据相似三角形写出对应边比例和测高表达式，使用真实单位完成至少两类测高计算。
3. 能用记录表保存至少三组数据，计算逐次结果与平均值，识别异常数据并提出复测办法。
4. 能在活动报告中比较方案优缺点，说明误差来源及影响，形成建模、相似和误差意识。
二、重点
• 把实际测高情境转化为条件充分的相似三角形模型。
• 按对应边正确列比例，并让数据记录、计算、复核和报告形成完整证据链。
三、难点
• 判断现实条件是否足以保证相似，并区分随机波动与会使结果持续偏离的系统性误差。
学习支架
测高活动六步流程
1. 定对象：确认不能或不宜直接测量的高度，并划定安全区域
2. 选方案：根据天气、场地和器材选择影长法或标杆视线法
3. 审条件：核对水平、竖直、共线或平行光、测量起止点和单位
4. 画图列式：声明自设图条件，判定相似，写对应边比例和高度表达式
5. 实测复核：至少测三次，记录原始量、逐次结果、计算者和复核者
6. 评价改进：解释差异与误差，必要时纠正条件后复测，完成活动报告
活动单自设图A：影长法结构（非教材原图，不按比例）
四、知识要点
1. 一、从直接测量转向间接测量
旗杆、高楼和大树的顶部通常难以安全到达，不能简单把皮尺从顶端垂到地面。可行的思路是：把目标高度记为 H，选择能直接测量的标杆高度、影长、水平距离或眼高，把实物关系转成两个三角形。“转成三角形”还不够。必须说明角为什么相等，例如物体与水平地面形成直角、同一时刻太阳光线近似平行，或两条视线本来就是同一直线。只有条件能推出三角形相似，才可使用对应边成比例。安全要求同样属于方案条件：不攀爬旗杆，不进入车辆通道，不直视太阳；皮尺贴地拉直但不绊人；观察者和记录者听从统一口令。
2. 二、两种可执行测量方案
方案A——影长法。器材：竖直标杆、卷尺或皮尺、直角检查工具、粉笔、记录板。活动单自设条件：地面近似水平；标杆 AB 与旗杆 DE 均垂直地面；在很短时间内同时测量；太阳光线 BC 与 EF 平行；AC、DF 分别是从物体底端沿影子方向到清晰影尖的长度。于是直角三角形△ABC与△DEF相似，AB/AC=DE/DF，所以 H=DE=AB×DF/AC。方案B——标杆视线法。器材：标杆、卷尺、直角检查工具、可标记眼高的测杆。活动单自设条件：地面近似水平；标杆和被测物竖直；观察者眼点 E、标杆顶 S、被测物顶 T 共线；过 E 的水平线分别交标杆、被测物于 P、Q；观察者脚下投影 O、标杆底 B、被测物底 C 共线。若眼高 EO=e，标杆高 BS=s，OB=d，OC=L，则 PS=s-e，EP=d，QT=H-e，EQ=L。△EPS与△EQT相似，所以 (s-e)/d=(H-e)/L，得到 H=e+(s-e)×L/d。
3. 三、数据记录、计算与复核
每个原始量都要写名称、数值和单位，不能在表中只写“1.5、10.2”。同一轮影长法应尽量同时读出两段影长；间隔太久，太阳方向变化会破坏同一组对应关系。每次测量都独立代入表达式，得到 H₁、H₂、H₃，再比较最大值与最小值的差，即极差 R。本活动建议先约定：若三次估计高度的极差不超过0.20 m，可报告三次结果的平均值，并保留“约”字；若超过0.20 m，先检查竖直、水平、影尖、共线、皮尺零点和读数，再纠正可疑操作后复测。0.20 m是本活动单为校园测高设置的复测触发值，不是普遍定理。计算者与复核者应由不同同学承担。复核者检查对应边、单位、代入和结果数量级，也检查原始记录是否被涂改。
4. 四、误差解释与活动报告
误差来源可分为三类。第一类是模型条件偏离，例如地面有坡、标杆倾斜、视线未共线；第二类是操作读数问题，例如影尖模糊、皮尺松弛、起点没有对准底端；第三类是环境变化，例如风使标杆摆动、测两段影长间隔过久。分析误差不能只列名称。应继续问：它影响了哪个测量量？会使该量偏大还是偏小？代入表达式后，高度可能怎样变化？若方向无法确定，要诚实写“仅凭现有信息不能判断”，并设计复测来验证。活动报告至少包含日期、对象、成员分工、器材、方案与条件、自设示意图、原始数据表、相似依据、比例计算、结果、误差、复测和反思。最终结果应写成“估计高度约为……m”，避免把间接测量写成绝对精确值。
五、典型例题
【例1】
完整示范1（影长法）。活动单自设情境：操场地面近似水平，1.20 m标杆AB与旗杆DE均竖直；测量员在同一分钟内沿同一阳光方向量得标杆影长AC=1.50 m、旗杆影长DF=10.75 m；太阳光线BC与EF平行。求旗杆高度DE，并说明结果为什么只能写成估计值。
【例2】
完整示范2（标杆视线法）。活动单自设情境：地面近似水平，观察者脚下投影O、2.20 m高标杆底B和旗杆底C在同一直线上，标杆与旗杆均竖直。观察者眼高EO=1.60 m，OB=2.50 m，OC=30.00 m。调整位置后，眼点E、标杆顶S、旗杆顶T共线；过E的水平线分别交标杆、旗杆于P、Q。求旗杆高度CT。
同 步 练 习
测高活动六步流程
1. 定对象：确认不能或不宜直接测量的高度，并划定安全区域
2. 选方案：根据天气、场地和器材选择影长法或标杆视线法
3. 审条件：核对水平、竖直、共线或平行光、测量起止点和单位
4. 画图列式：声明自设图条件，判定相似，写对应边比例和高度表达式
5. 实测复核：至少测三次，记录原始量、逐次结果、计算者和复核者
6. 评价改进：解释差异与误差，必要时纠正条件后复测，完成活动报告
通用实测记录表（所有长度先统一用 m）
小组自设测量示意图与比例式
★ 基础巩固
1. 任务1 理解问题与器材盘点。小组拟测校园旗杆。先写出不能直接用皮尺从顶端量到底端的两条理由，再从“2 m标杆、20 m卷尺、粉笔、直角三角板、记录板、手机计时器”中圈出影长法要用的器材，并为每件器材写明用途。
2. 任务2 条件审查。某组准备使用影长法，请在表中逐项填写“满足/不满足”，并说明若不满足会破坏哪个环节：①地面近似水平；②标杆斜靠在栏杆上；③标杆和旗杆影长在同一分钟内读取；④两段影长均从物体底端量到影尖；⑤标杆影长用cm、旗杆影长用m，代入前没有换算。
1. 写角相等来源
2. 判定三角形相似
3. 标对应边并列比例
4. 统一单位后计算
5. 回代并写估计结论
3. 任务3 基础比例计算。水平场地上，1.50 m标杆与一棵树均竖直，同一时刻测得标杆影长1.80 m、树影长10.20 m。写出相似依据、对应边比例和计算过程，估计树高。
4. 任务4 眼高变式。使用标杆视线法，地面水平，标杆和旗杆竖直，观察者眼点、标杆顶、旗杆顶共线。眼高1.55 m，标杆高2.15 m，观察者到标杆底的水平距离3.00 m，到旗杆底的水平距离28.00 m。按“扣眼高—列比例—加眼高”求旗杆高度。
任务5自设图（非教材原图，不按比例）
5. 任务5 对应关系纠错。活动单自设影长图中，AB为标杆高、AC为标杆影长、DE为旗杆高、DF为旗杆影长。甲写AB/DF=DE/AC，乙写AB/AC=DE/DF。判断谁正确，在自设图上用相同符号标出两组对应边，并解释另一人的错误。
★★ 能力提升
6. 任务6 场地踏勘与方案选择。实地查看教师指定的两个候选测量点，记录地面、遮挡、行人车辆、阳光或观察距离等情况。选择一个点和一种方案，写出选择理由；若两个点都不合格，要说明原因并提出新的安全点位。
1. 选定方案和点名
2. 画地面、竖直物与关键射线
3. 写水平、竖直、平行或共线条件
4. 标已知量、待测量与未知高度
5. 写相似三角形和高度表达式
7. 任务7 画小组自设示意图。若选影长法，必须标出物体底、物体顶、影尖、两条竖直边、两条影长和两条近似平行光线；若选标杆视线法，必须标出观察者脚点与眼点、标杆底与顶、目标底与顶、过眼点水平线和共线视线。图旁完整写出水平、竖直、平行或共线条件，圈出未知高度，写出你们将使用的高度表达式。
8. 任务8 器材校准。用卷尺独立测量标杆三次，并检查标杆是否竖直。记录每次标杆长度；若三次极差超过0.01 m，检查零刻线、卷尺拉直和读数位置后重测。写出最终采用的标杆高度及采用理由。
9. 任务9 影长法现场记录。听统一口令，在尽量短的时间内完成三轮测量。每轮记录标杆高h、标杆影长l、目标影长L、测量时刻和现场情况；所有长度统一用m。若影尖模糊，用同一约定确定影尖并在备注中说明。
10. 任务10 用本组影长数据逐次求高。分别写出H₁=h₁×L₁/l₁、H₂=h₂×L₂/l₂、H₃=h₃×L₃/l₃的代入过程，结果保留到0.01 m；计算平均值和极差。按“极差不超过0.20 m可报告平均值，超过则排查后复测”的活动约定作出决定。
11. 任务11 标杆视线法现场记录。由同一观察者完成三轮对齐，每轮重新确认眼点、标杆顶和目标顶共线。记录眼高e、标杆高s、观察者到标杆底水平距离d、观察者到目标底水平距离L；写明水平距离从观察者脚下投影点量起。每轮计算H=e+(s-e)×L/d。
12. 任务12 识别异常数据。某组用1.50 m标杆做影长法，三轮数据依次为：标杆影长1.20 m、1.34 m、1.48 m；目标影长6.88 m、8.33 m、8.53 m。逐次求高，计算极差，判断哪一轮最可疑，并写出至少两项现场排查内容。
1. 计算错误记录对应的高度
2. 计算正确模型值
3. 作差并写单位
4. 联系表达式解释偏差方向
13. 任务13 判断误差方向。真实条件下标杆高1.20 m、标杆影长1.50 m、旗杆影长10.75 m。某同学把旗杆影长起点错放在离旗杆底0.30 m、朝影尖方向的位置，因此记录为10.45 m。计算错误估计值，与正确模型值比较，判断偏大或偏小以及相差多少。
★★★ 拓展延伸
14. 任务14 双方案复核。同一旗杆在条件合格时，影长法三次平均结果为8.54 m，标杆视线法三次平均结果为8.72 m。计算两结果的绝对差，以及以两结果平均数为参照的相对差异百分比（保留到0.1%）。判断能否仅凭这两个数确定真实高度，并为下一次复测写出一项“保持不变”和一项“有意改变”的安排。
自设示意图、条件与相似依据
误差、复测与活动反思
15. 任务15 完成小组活动报告。选择旗杆、高楼或大树中的一个安全对象，完成“课题—成员分工—器材—方案条件—自设示意图—原始数据—相似依据—比例计算—结果—误差—复测—反思”全过程。必须有至少三轮真实测量，计算者和复核者不得为同一人；最终结果写到0.01 m并使用“约”。
16. 任务16 改进后复测。某组第一次得到8.46 m、8.82 m、8.55 m，发现第二轮测量时标杆被风吹斜，且两段影长相隔约4 min才读完。按0.20 m触发值判断是否需要复测。小组固定标杆、采用两名同学同时读数后得到8.53 m、8.57 m、8.55 m。分别计算两组极差和改进后三次平均值，评价改进是否有效，并写一条仍需保留的限制。测量项目（含单位）
第1次
第2次
第3次
平均值或处理说明
器材
是否选用
用途或不选理由
条件序号
满足/不满足
影响的环节
改进办法
量
数值与单位
在模型中的意义
候选点
地面与空间
光线/视线
安全风险
结论与理由
检查项目
第1次
第2次
第3次
极差/处理
轮次
时刻
h（m）
l（m）
L（m）
现场备注
轮次
比例式与代入
H（m）
计算者
复核者
轮次
e（m）
s（m）
d（m）
L（m）
H（m）
轮次
代入式
估计高度（m）
是否可疑
理由
比较项目
计算或安排
理由
角色
姓名
具体职责
签字确认
轮次
原始量与单位
比例式
估计高度（m）
复核结论
阶段
三次结果（m）
极差（m）
平均值（m）
结论