北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质随堂练习题

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质随堂练习题试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1． 如图， 已知△ABC∽△ADE， 则下列结论错误的是 ( )
A．∠C=∠EB．∠1=∠2
C．ABAD=ACAED．S△ABCS△ADE=BCDE
2．如图，已知△ABC∽△A'B'C'，BCB'C'=43，若AB=4，则A'B'的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，记△COD的面积为S1,△AOB的面积为S2.若CDAB＝23,则S1S2＝（ ）
A．25B．72C．49D．512
4．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（ )
A．6B．8C．9D．12
5． 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ ）
A．80cmB．60cmC．50cmD．40cm
6．如图，已知△ABC，直线l1与边AB， AC分别交于点 D， E，直线l2与边AB， AC分别交于点 M，N，l1∥l2∥BC，下列比例式一定正确的是（ )
A．ADDM=DEMNB．ADMB=AENCC．DEMN=MNBCD．ADDM=ENNC
7．若ΔABC∽ΔDEF，面积比为9:16，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．2:3B．3:4C．9:16D．4:3
8．若两个相似三角形的对应高的比为1：4，则这两个三角形的周长比为（ ）
A．1：2B．1：4C．1：9D．1：16
9．已知，如图所示的一张三角形纸片ABC，边AB的长为20cm，AB边上的高为25cm，在三角形纸片ABC中从下往上依次裁剪去宽为4cm的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A．第5张B．第6张C．第7张D．第8张
10．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4，BD＝9，交点为O，点F在OC上，且CF＝2OF，过点F作EF∥BC交AB于点E．则△AEF的面积为（ ）
A．5B．4C．3D．8
二、填空题
11．已知△ABC∽△DEF，∠A=80°，∠B=30°，则∠F的度数为 °．
12．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的面积为2m2，△DEF的面积为8m2，那么△ABC与△DEF的周长之比为 ．
13．高4米的旗杆在水平地面上的影长5米，此时测得附近一个建筑物的影子长20米，则该建筑物的高是 米．
14．如图，在△ABC中，点D是BA上一点，且∠ACD=∠B，若AC=3，AD=2，则BD= ．
15．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，若AD=2，DB=3，△ADE的面积是2，则△ABC的面积是 ．
三、解答题
16．如图，△ABC中，点D和点E分别在AB，AC上，AC=2AD，AB=2AE，DE=5，求BC的长度.
17．学习了相似三角形相关知识后，小明想利用“标杆”测量教学楼的高度.如图，小明站在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得点E、A、C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上)已知小明的目高EF为1.6米， “标杆”AB为3米， BD =30米， FB=3米， EF、AB、CD均垂直于地面DF， 求教学楼CD的高度.
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，ABAD=ACAE，S△ABCS△ADE=(BCDE)2=BC2DE2，
∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，
∴∠1=∠2，
∴只有D选项中的结论错误，符合题意，
故选：D．
【分析】相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此逐一判断即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC∽△A'B'C'，BCB'C'=43，
∴ABA'B'=BCB'C'=43，
∵AB=4，
∴A'B'=3，
故答案为：A.
【分析】根据相似性质，结合△ABC、△A'B'C'相似，BCB'C'等于43，AB=4可列方程解出A'B'的长为3.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠OCD=∠OAB，∠ODC=∠OBA(两直线平行，内错角相等)，
∴ΔCOD∽ΔAOB(两角分别相等的两个三角形相似)。
∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比CDAB=23，
∴S1S2=(CDAB)2=(23)2=49
故答案为：C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，结合平行线的性质求解面积比。解题时先由两直线平行推出内错角相等，依据两角对应相等判定两个三角形相似，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方这一性质，将已知的边长比平方后即可得到两个三角形的面积比。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2:3，
∴△ABC的周长:△DEF的周长=2:3，
设△DEF的周长为x，则6:x=2:3，
解得x=9．
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．
5．【答案】B
【解析】【解答】解：由图可知：∠A=∠B=90∘，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），
∴△ACO∽△BDO。
根据相似三角形对应边成比例：ACBD=OAOB
已知OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
代入：AC20=15050，
AC20=3，
AC=60cm .
故答案为：B .
【分析】由两个直角、一组对顶角相等，判定两个直角三角形相似；由相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度解方程求出AC，由直角 + 对顶角相等，证△ACO∽△BDO；由相似三角形边长比例关系建立方程；代入数值计算得到AC长度.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ l1∥l2∥BC，
∴ADDM=AEEN，ADMB=AENC，△ADE∽△AMN，
∴DEMN=ADAM=AEAN，
故答案为：B.
【分析】根据平行线分线段成比例定理判断A，B，D选项，再根据两直线平行的到△ADE∽△AMN，根据对应边成比例判断C选项解答即可.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：∵ΔABC∽ΔDEF，面积比为9:16，
∴△ABC与△DEF的相似比为3：4，
∴△ABC与△DEF的周长比为3：4，
故答案为：B.
【分析】利用相似三角形的性质（相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方）分析求解即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：我们知道，对于相似三角形：对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；周长的比也等于相似比；
题目中两个相似三角形对应高的比为 1：4，所以它们的相似比就是 1：4，因此这两个三角形的周长比也为 1：4。
故答案为：B。
【分析】首先，根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比。然后，再利用 “相似三角形的周长比等于相似比” 这一性质，直接由对应高的比 1：4，得出周长比也为 1：4。
9．【答案】A
【解析】【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是4，
所以根据相似三角形的性质可设从顶点C到这个正方形的边距离为x，
则420=x25，
解得x=5，
所以另一段长为25−5=20，
因为20÷4=5，所以是第5张．
故选：A．
【分析】根据相似三角形对应边成比例建立方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，且菱形面积等于对角线乘积的一半
∴菱形ABCD的面积S=12×AC×BD=12×4×9=18
∵对角线AC将菱形分成两个面积相等的三角形
∴SΔABC=12×18=9
∵AC=4，∴OA=OC=12AC=2
∵CF=2OF，∴OF=13OC=13×2=23
∴AF=OA+OF=2+23=83
∵EF∥BC，∴ΔAEF∽ΔABC
∵相似三角形面积比等于相似比的平方
∴SΔAEFSΔABC=(AFAC)2=(834)2=49
∴SΔAEF=49×9=4
故答案为：B
【分析】本题考查菱形的性质和相似三角形的判定与性质。先根据菱形对角线的性质求出菱形及ΔABC的面积，再由线段比例关系求出AF的长度，利用平行线判定ΔAEF与ΔABC相似，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方计算ΔAEF的面积。
11．【答案】70°
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=80°，∠B=30°，
∴∠C=180°−(∠A+∠B)=180°−(80°+30°)=70°，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠F=∠C=70°，
故答案为：70°．
【分析】在△ABC中，由三角形内角和定理得∠C=70°，由△ABC∽△DEF，根据相似三角形对应角相等，得∠F=∠C=70°．
12．【答案】1∶2
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC与△DEF的面积比为2∶8=1∶4，
∴△ABC与△DEF的相似比为1∶2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1∶2．
故答案为1∶2．
【分析】根据相似三角形的性质可得，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，根据面积得到相似比，进而求解．
13．【答案】16
【解析】【解答】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，
设建筑物的高是x米，则x20=45，
解得：x=16.
故该建筑物的高为16米，
故答案为16.
【分析】根据题意得到在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，设建筑物的高是x米，则x20=45，进而即可求解。
14．【答案】52
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴ACAD=ABAC，
∵AC=3，AD=2，
∴32=AB3即：AB=92，
∴BD=AB−AD=52.
故答案为：52.
【分析】由有两组角相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程即可求出AB的长，然后根据线段和差，由BD=AB-AD可算出答案.
15．【答案】12.5
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=ADAB2，即2S△ABC=22+32，
∴S△ABC=12.5．
故答案为：12.5．
【分析】由DE∥BC判定△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，代入已知面积与线段长度，计算得出S△ABC​的值。
16．【答案】解：∵AC=2AD,AB=2AE，
∴ADAC=AEAB=12，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴DEBC=ADAC=12，
∴BC=2DE=2×5=10．
【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ADE∽△ACB，然后根据对应边成比例解答即可．
17．【答案】解：过点E作EH⊥CD交AB于点Q，交CD于点H，如图。
则EQ=FB =3 米， AQ=AB-EF=1.4 米，
QH=BD =30 米， DH=EF=1.6 米
∵AB∥CD
∴△EAQ∽△ECH
∴AQCH=EQEH
即1.4CH=333
∴CH=15.4 米
∴CD =CH+DH=17 米
【解析】【分析】构造相似三角形，利用其性质求出CH的长即可求CD。