北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质课后作业题

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc21192" 一.知识梳理解读 PAGEREF _Tc21192 \h 1
\l "_Tc23572" 【知识点一】相似三角形基本性质 PAGEREF _Tc23572 \h 1
\l "_Tc278" 【知识点二】相似三角形性质定理（1） PAGEREF _Tc278 \h 2
\l "_Tc11086" 【知识点三】相似三角形相似定理（2） PAGEREF _Tc11086 \h 2
\l "_Tc3358" 【知识点四】相似多边形的性质（延伸理解） PAGEREF _Tc3358 \h 2
\l "_Tc438" 【知识点五】核心易错点 PAGEREF _Tc438 \h 2
\l "_Tc25477" 二.题型精析（夯实基础） PAGEREF _Tc25477 \h 2
\l "_Tc5694" 【题型 1】利用相似三角形对应线段、角平分线、中线、高线之比 PAGEREF _Tc5694 \h 2
\l "_Tc28885" 【题型 2】相似三角形对应周长、面积之比 PAGEREF _Tc28885 \h 3
\l "_Tc22333" 【题型 3】相似三角形性质与判定综合（基础） PAGEREF _Tc22333 \h 4
\l "_Tc5675" 三.题型精析（巩固提升） PAGEREF _Tc5675 \h 4
\l "_Tc17626" 【题型 4】相似三角形性质与判定综合 PAGEREF _Tc17626 \h 5
\l "_Tc28820" 【题型 5】相似三角形性质与判定动点问题综合 PAGEREF _Tc28820 \h 6
\l "_Tc6022" 【题型 6】相似三角形性质与判定与图形变换综合 PAGEREF _Tc6022 \h 7
\l "_Tc28675" 四.同步检测 PAGEREF _Tc28675 \h 8
\l "_Tc23428" （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） PAGEREF _Tc23428 \h 8
\l "_Tc25413" （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） PAGEREF _Tc25413 \h 10
\l "_Tc12703" （三）解答题（本大题共6小题，共58分） PAGEREF _Tc12703 \h 12
一.知识梳理解读
【知识点一】相似三角形基本性质
相似三角形对应角相等、对应边成比例
几何语言：如果 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k，则：（1）∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′；（2）ABA′B′=BCB′C′=ACA′C′=k（k 为相似比）。
【知识点二】相似三角形性质定理（1）
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。
【知识点三】相似三角形相似定理（2）
相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
【知识点四】相似多边形的性质（延伸理解）
相似多边形对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。三角形是特殊的多边形，因此完全适用以上性质。
【知识点五】核心易错点
1. 面积比一定要先求相似比，再平方，切忌直接将边长比当作面积比；
2. 所有线段比（高、中线、角平分线、周长）均等于相似比，只有面积比是平方关系；
3. 使用性质前必须找准对应边、对应高、对应角，非对应线段不满足比例关系；
4. 相似比有顺序：△ABC∽△A′B′C′ 与 △A′B′C′∽△ABC 的相似比互为倒数。
二.题型精析（夯实基础）
【题型 1】利用相似三角形对应线段、角平分线、中线、高线之比
【例题1】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，点、分别在边、上，，若，，，求的长．
【变式1】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，中，点是的中点，，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【变式2】（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）已知，与的相似比为．若，则的长为_______．
【变式3】（25-26九年级上·广东湛江·期末）如图，在中，为边上一点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【题型 2】相似三角形对应周长、面积之比
【例题2】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm．
【变式1】（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，中，点，分别在上，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．与的面积比为
C．与的周长比为
D．与四边形的面积比为
【变式2】（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）已知中，，，，，点在上（与、不重合），点在上．若的面积是四边形面积的时，则的长为______．
【变式3】（第4章图形的相似易错疑难集训5）两个相似三角形对应边的长分别为和，且两个三角形的面积差为．求较大三角形的面积．
【题型 3】相似三角形性质与判定综合（基础）
【例题3】（25-26九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在中，点D是上一点，且，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【变式1】（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级上·上海金山·阶段检测）如图，已知在中，，，点分别在边上，，，那么的长为____________．
【变式3】（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图：中，是斜边上的高．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
三.题型精析（巩固提升）
【题型 4】相似三角形性质与判定综合
【例题4】（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点．
（1）求的长；
（2）若交于点，求的长．
【变式1】（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，在平行四边形中，是的平分线，且交于E，与相交于O，已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________．
【变式3】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【题型 5】相似三角形性质与判定动点问题综合
【例题5】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在中，，，点P、D分别是边上的点，且．
（1）求证：：
（2）当，求的值．
（3）若点K在边上且，点P以每秒1个单位从点B向终点C运动；请直接写出点K在内部的时间．
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（ ）．
A．0B．1C．0或1D．1或
【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，在中，，，，点P从A点出发沿向C点运动，速度为每秒，同时点Q从C点出发沿向B点运动，速度为每秒，当点P到达顶点C时，P、Q同时停止运动，设P点运动时间为t秒，当t为_________时，与相似．
【变式3】（25-26九年级上·广西百色·期中）如图，在矩形中，，，点自点A出发，以每秒的速度向点D移动，同时点F从点D出发，以每秒的速度向点C移动，若移动时间为t且．
（1）当t是多少时，；
（2）四边形的面积是否为定值？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由．
（3）能否与相似？如果能，请求出所有t的值，如果不能，请说明理由．
【题型 6】相似三角形性质与判定与图形变换综合
【例题6】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为．
（1）求证：；
（2）若，，求与的相似比．
【变式1】（2026·山西·中考真题）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，一张三角形纸片，其中，，．某同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则________．
【变式3】（25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，射线与线段相交于点G，与射线相交于点Q．
（1）求证：．
（2）当，，求的长．
四.同步检测
（一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分）
1．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点、分别在的边、上，且，若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
2．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·期末）若与的相似比为，则对应边上的高之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26九年级上·河南开封·阶段检测）如果两个相似三角形面积比为，则这两个相似三角形对应边的比为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25九年级上·内蒙古包头·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，如果，，，那么的周长等于（ ）．
A．B．C．D．
5．（23-24九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点D、E分别在、上，且，那么下列比例式中不成立的是（ ）
A．B．C．D．
6．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，点、分别在边、上，连接，，若，则的长是（ ）
A．4B．5C．20D．3.2
7．（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，，则木杆在轴上的影长是（ ）
A．B．12C．8D．
8．（2026·安徽蚌埠·三模）如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（）
A．1B．2C．3D．4
9．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（ ）
A．B．1C．D．2
10．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
（二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，且，则和对应边上的中线比为_____．
12．（24-25九年级上·上海·期中）已知，顶点、、分别与、、对应，若，，则________度．
13．（23-24九年级上·上海金山·阶段检测）如图，点分别在的边上，且，若，，，则的值为_______________．

14．（25-26九年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____．
15．（练习06相似三角形的判定-2020-2021学年【补习教材�寒假作业】九年级数学（沪科版））如图，中，，，，点是边上一点，将沿经过点的直线折叠，使得点落在边上的处，若恰好和相似，则此时的长为______．

16．（2026·四川雅安·一模）如图，在平行四边形中，，交于点F，那么的值是______．
17．（2026·四川内江·三模）如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则______．
18．（2026·浙江嘉兴·二模）如下图，在中，平分交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接，若，则_____．
（三）解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（25-26九年级上·河北邢台·阶段检测）如图，在中，为上一点，点在上，连接，，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
20．（本小题满分8分）（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在正方形中，E是边上的一点，F是的中点，且．求证：．
21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·上海·阶段检测）如图，在中，点、分别在、上，平分，．如果，，，求和的长．
22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，平行四边形，连接，过点分别作，，垂足分别为，，连接．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题：
（1）如图1，在中，D为上一点，．求证：；
（2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长．
24．（本小题满分12分）（2026·上海·三模）如图，在平行四边形 中，对角线交于点O，点G在边 上，连接交 于点F，若
（1）求证：；
（2）若，，求证：四边形是菱形．