北师大版（2024）九年级上册（2024）第四章 投影与视图1 投影优秀第1课时课后测评

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本课核心问题
看到或画出一个影子时，怎样从光线—物体—投影面的关系判断投影类型、完成作图，并把空间问题转化为平面几何问题？
一、学习目标
1. 认识投影、投影面、中心投影、平行投影和正投影，能用投射线的结构准确区分它们。
2. 能够完整描述光线—物体—投影面的关系，并用共线、平行或垂直关系完成简单投影作图。
3. 会在条件满足时利用相似三角形解决影长与物高问题，能设计简单估测方案并说明误差与适用边界。
二、重点
• 中心投影、平行投影与正投影的概念、从属关系和识别依据。
• 由对应点确定投射线，以及在同一时刻用平行线和相似三角形完成作影与测高。
三、难点
• 把真实光影情境转化为二维几何模型，并在套用比例前核对光源、物体、投影面的空间条件。
学习支架
投影问题四步检查
1. 圈出光源或写明投射方向，并确认是点光源模型还是平行光模型
2. 标出物体、投影面及物体端点与影端的对应关系
3. 中心投影连“光源—物点—影点”，平行投影过对应物点作同方向平行线
4. 检查交点是否落在投影面上，并核对共点、平行、垂直或相似关系
三个概念的条件层级
原创模型A：中心投影的共点关系
原创模型B：同一时刻太阳光下的平行关系
四、知识要点
1. 投影先看三个对象
物体受到光线照射后，光线中被物体挡住的一部分不能继续到达承接面，于是在地面、墙面或其他平面上留下明暗边界，这就是投影现象；影子所在的平面叫投影面。分析时必须同时说明：光从哪里来或沿什么方向来，什么物体挡住光，影子落在哪个平面。改变物体的摆放位置、方向，或改变光源、照射方向、投影面的位置和方向，投影的形状、方向、位置或大小都可能改变。因此“同一个物体必有同一个影子”是错误的。
2. 中心投影：投射线共点
把路灯、手电筒或台灯近似为一个点光源S。物体边界上的点B挡住从S发来的光，直线SB继续延伸到投影面，与投影面的交点C就是B的对应影点。于是S、B、C在同一直线上。对不同物点作出的投射线都经过S，这就是中心投影最本质的结构。反过来，如果已知两组可靠的“物顶—影端”对应点，把两条对应直线反向延长，它们的交点就是点光源的位置。一条直线不能唯一确定光源，错配物点和影点也会得到错误交点。
3. 平行投影与正投影：先平行，再看垂直
太阳距离地面很远，在有限的校园范围内，太阳光线可近似看成方向相同的平行光线。由平行光线形成的投影叫平行投影。作图时只要先确定一条可靠的投射方向，就可以过其他物点作与它平行的直线，直线与投影面的交点就是对应影点。如果这些互相平行的投射线还与投影面垂直，形成的是正投影；如果斜着射向投影面，仍是平行投影，但不是正投影。判断顺序不能颠倒。
4. 从作影到测高：把空间关系转成相似三角形
同一时刻、同一小范围内的太阳光方向相同。两根竖直杆立在同一水平地面上时，杆、地面影子和投射线分别组成直角三角形；因为投射线平行，两三角形有一组对应锐角相等，所以相似，从而“物高∶影长”相等。作图时过未知杆顶作已知投射线的平行线，交地面于影端。计算时要先写条件，再确定对应边。若测量不在同一时刻、地面倾斜、杆不竖直，或影子折到墙上，原比例不能直接照搬，应重新建模。
5. 应用与探究：模型、测量和人工判断
路灯下测高属于中心投影。灯泡S、人的头顶P和影端Q共线，灯杆与地面、人身高与地面形成一大一小两个相似三角形。需要测人的身高、人与灯杆的水平距离、人的影长，才能建立比例。多测几次并取平均可减小读数误差。立方体投影探究则要想象每个顶点沿同一平行方向落到平面上的位置，再连接最外层影点形成边界。开放作图可能有多种正确外观，评价依据是投射线、对应点和边界自洽，而不是与某张示意图完全一样。
五、典型例题
【例1】
例1 下列投影怎样分类？①夜晚路灯照出人的影子；②阳光斜照旗杆，在水平地面形成影子；③一束互相平行且垂直屏幕的光照射薄板。请说明判断依据。
【例2】
例2 在原创模型A中，A、D为两根竖直杆的底端，B、E为杆顶，C、F为对应影端。怎样确定点光源S？为什么一根杆不够？
【例3】
例3 同一时刻，两根竖直杆立在同一水平地面上。已知甲杆高2.4 m、影长1.8 m，乙杆影长1.2 m。求乙杆高度，并说明怎样画出乙杆影子。
【例4】
例4 小林身高1.6 m，站在一盏路灯下，人与灯杆的水平距离为6 m，背向灯杆的影长为2 m。把灯泡看成点光源，地面水平，求灯泡高度。
同 步 练 习
投影问题四步检查
1. 圈出光源或写明投射方向，并确认是点光源模型还是平行光模型
2. 标出物体、投影面及物体端点与影端的对应关系
3. 中心投影连“光源—物点—影点”，平行投影过对应物点作同方向平行线
4. 检查交点是否落在投影面上，并核对共点、平行、垂直或相似关系
原创模型A：中心投影的共点关系
原创模型B：同一时刻太阳光下的平行关系
★ 基础巩固
1. 物体在光线照射下，在地面或其他平面上留下影子的现象叫（________），影子所在的平面叫（________）。
2. 只要物体相同，它在任何光源、任何投影面上的投影形状和大小都相同。（ ）
3. 把路灯近似看成点光源时，路灯形成的投影通常属于（________）投影。
4. 在中心投影中，任意一条边界投射线都应经过点光源。（ ）
5. 太阳光线在校园这样的小范围内可近似看成（________）光线，因此形成（________）投影。
6. 所有平行投影都是正投影。（ ）
7. 固定物体和光源，只改变投影面的方向，投影也可能发生变化。（ ）
8. 同一时刻，两根竖直杆立在同一水平地面上，它们的“杆高∶影长”比值（________）。
9. 同样高的两个人站在同一盏路灯下，他们的影长一定相等。（ ）
★★ 能力提升
10. 一组投射线互相平行，并斜着射到水平地面。该投影是（________）。
A. 只能是中心投影
B. 平行投影，但不是正投影
C. 正投影，但不是平行投影
D. 既不是中心投影，也不是平行投影
11. 要由两根杆及其影子确定路灯灯泡位置，最关键的作法是（________）。
A. 连接两根杆的底端
B. 连接两个影端
C. 分别连接每根杆的顶端与对应影端并延长
D. 过两个影端分别作地面的垂线
中心投影作图底图
补作与说明区
12. 依据下图中的两根竖直杆AB、DE及对应影端C、F，在图上反向延长边界投射线，标出点光源S。再任选地面上的一点P表示一名学生的脚，在线段上方自定头顶Q，画出学生的影端R。开放作图由教师按共线关系人工判断。
13. 同一时刻，校园内一根1.8 m高的标杆影长为1.2 m；一棵树的影长为4.6 m。标杆与树都竖直，地面水平。求树高。
平行投影作图底图
作图依据
14. 图中AB是高170个图示单位的杆，AC是长180个图示单位的影子；DE是另一根杆。请利用同一时刻太阳光方向，画出DE的影子，并写出作图依据。作图位置由教师人工核对。
15. 一盏灯泡高5 m，小华身高1.5 m。把灯泡看成点光源，小华竖直站在水平地面上。若他距灯杆底7 m，求背向灯杆的影长；再判断他走到距灯杆底3 m处时影长怎样变化。
★★★ 拓展延伸
方案记录提示
1. 画出光源、人体、投影面和影端
2. 给需要测量的量命名并写单位
3. 说明相似三角形及对应边
4. 列式估算并分析误差
我的估测方案
16. 设计一个利用本人影子估测路灯灯泡高度的方案。要求写出需要测量的量、作图或比例关系、至少两条控制误差的办法，并说明为什么不能只量影长。允许多种方案，由教师人工判断可行性。
17. 甲同学说：“两根竖直杆的高度比一定等于影长比。”乙同学说：“只要画出的两条边界投射线平行，就一定能用这个比例。”请分别评价，并给出一个成立条件完整的修正版。
立方体线框参考（仅表示立体结构，不规定投射方向）
两种投影边界与说明
18. 在太阳平行光下转动一个立方体，并改变平行光的照射方向。参照立方体线框，在作图区尝试画出两种不同的投影边界多边形，并用箭头标出投射方向。说明你是怎样由空间顶点得到平面影点的。不要求穷举，合理作图由教师人工判断。中心投影
平行投影与正投影
投射线从同一点发出；路灯、手电筒、台灯常近似为点光源。影子的大小会随物体与光源、投影面的相对位置明显变化。
平行投影要求投射线互相平行；若还与投影面垂直，才是正投影。太阳光常近似为平行光。