初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质精品第1课时教案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质精品第1课时教案设计，共10页。

1.理解并掌握相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比的性质．
2.通过观察、猜想、证明等过程，培养学生的逻辑推理能力和探究精神．
3.体会从特殊到一般的数学思想方法，感受数学知识的内在联系．
重点：相似三角形对应线段比与相似比的关系的探究与应用．
难点：综合运用相似三角形的性质与判定解决实际问题．
知识链接
什么是相似三角形？相似比的定义是什么？
探究点：相似三角形中的对应线段之比
如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱．
问题1：△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠A=∠A′．又∠ADC=∠A′D′C′=90°，∴△ACD∽△A′C′D′．∴CD∶C′D′=AC∶A′C′=1∶2.
问题2：如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
∵CD∶C′D′=1∶2，且CD=1.5 cm，∴C′D′=3 cm．
思考：已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，它们对应高的比各是多少？对应角平分线的比是多少？对应中线的比呢？请证明你的结论．
做一做：如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？
∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′．又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°．∴△ABD∽△A′B′D′．∴AB∶A′B′=AD∶A′D′=k．
思考：如图，△ABC∽△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′边上的中线，AE、A′E′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AB∶A′B′=k，那么AD与A′D′、AE与A′E′之间有怎样的关系？与同伴交流．
归纳总结：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．
已知△ABC∽△A1B1C1，BD和B1D1分别是它们的中线，若ACA1C1=32，B1D1=4 cm，则BD= 6 cm．
已知△ABC∽△A1B1C1，AD和A1D1是BC和B1C1边上的高，若AB=8 cm，A1B1=3 cm，则△ABC与△A1B1C1的对应高之比为 8∶3 ．
议一议：如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上．
（1）若∠BAD=13∠BAC，∠B′A′D′=13∠B′A′C′，则ADA′D′等于多少？
易证△ABD∽△A′B′D′．∴ADA′D′=ABA′B′=k．
（2）若BE=13BC，B′E′=13B′C′，则AEA′E′等于多少？
易证△ABE∽△A′B′E′．∴AEA′E′=ABA′B′=k．
（3）你还能提出哪些问题？与同伴交流．
（教材P107例1）
1.已知△ABC∽△A'B'C'，ABA'B'＝23，AB边上的中线CD＝4cm，则A'B'边上的中线C'D'的长为 6 cm.
2.已知△ABC∽△A'B'C'，AD是△ABC的中线，A'D'是△A'B'C'的中线.若ADA'D'＝12，且△A'B'C'的高A'E'为20cm，则△ABC的高AE为 10 cm.
3.两个相似三角形的两条对应边的长分别是3cm和2cm，如果它们对应的两条角平分线的和为15cm，那么这两条角平分线的长分别是 9cm，6cm .
4.已知△ABC∽△DEF，AB＝5cm，DE＝2.5cm，BC＝8cm，DF＝5cm.
4.已知△ABC∽△DEF，AB＝5cm，DE＝2.5cm，BC＝8cm，DF＝5cm.
(1)求△ABC和△DEF的相似比；
(2)若AG，DH分别为△ABC和△DEF的高，求AG∶DH；
(3)若△ABC中∠C的平分线长为a，求△DEF中∠F的平分线长.
解：(1)△ABC和△DEF的相似比为AB∶DE＝5∶2.5＝2.
(2)AG∶DH＝2∶1.
(3)△DEF中∠F的平分线长为12a.