高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的运算导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册对数的运算导学案及答案，共10页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.根式的概念及性质
(1)概念:式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质:①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作n0＝0.
③(na)n＝a(n∈N*，且n>1).
④nan＝a(n为大于1的奇数).
⑤nan＝|a|＝a，a≥0，−a，a0，m，n∈N*，且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a−mn＝1nam(a>0，m，n∈N*，且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
3.实数指数幂的运算性质
aαaβ＝aα＋β;(aα)β＝aαβ;(ab)α＝aαbα，其中a>0，b>0，α，β∈R.
4.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①algaN＝N;②lgaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN;
②lgaMN＝lgaM－lgaN;
③lgaMn＝nlgaM(n∈R).
(3)换底公式:lgab＝lgcblgca(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝1lgba(a>0，且a≠1;b>0，且b≠1).
(2)lgambn＝nmlgab(a>0，且a≠1;b>0;m，n∈R，且m≠0).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)4(−4)4＝－4.( )
(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘.( )
(3)lg2x2＝2lg2x.( )
(4)若MN>0，则lga(MN)＝lgaM＋lgaN.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)由于4(−4)4＝444＝4，故(1)错误.
(2)当mn0)
C.39＝33
D.已知x2＋x－2＝2，则x＋x－1＝2
答案 BC
解析 对于A，12(−3)4＝1234＝3412＝313＝33≠3−3，所以A错误;
对于B，a23b12−3a12b13÷13a16b56＝－9a23＋12−16·b12＋13−56＝－9a(a>0，b>0)，所以B正确;
对于C，39＝913＝916＝313＝33，所以C正确;
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，
所以x＋x－1＝±2，所以D错误.
考点二 对数的运算
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( )
A.lg37lg35＝lg75B.ln(ln e)＝0
C.lg222＝－1D.23−2lg23＝89
(2)计算:12lg 25＋lg 2－lg0.1－lg29×lg32＝ .
答案 (1)BCD (2)－12
解析 (1)对于A，lg37lg35＝lg57，故A错误;
对于B，ln(ln e)＝ln 1＝0，故B正确;
对于C，lg222＝lg2(2)－1＝－1，故C正确;
对于D，23−2lg23＝82lg232＝89，故D正确.
(2)原式＝lg 5＋lg 2－lg 10−12－2lg23×lg32＝1－−12－2＝－12.
感悟提升 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
训练2 (1)lg9 32×lg64 27＋lg9 2×lg427＝( )
A.94B.2
C.138D.2924
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且1lg8a－1lga4＝－52，则a＝ .
答案 (1)C (2)64
解析 (1)lg9 32×lg64 27＋lg9 2×lg427
＝lg32lg9×lg27lg64＋lg2lg9×lg27lg4
＝lg 25lg 32×lg 33lg 26＋lg2lg 32×lg 332lg 22
＝5lg22lg3×3lg36lg2＋lg22lg3×32lg32lg2
＝54＋38＝138.
(2)根据题意有113lg2a－12lga2＝－52，
即3lga2－12lga2＝－52，
设t＝lga2(a>1)，则t>0，故3t－12t＝－52，
得t＝16(t＝－1舍去)，
所以lga2＝16，所以a16＝2，所以a＝64.
考点三 指数与对数的综合运算
例3 (1)已知2a＝7b＝k，若2a＋1b＝1，则k的值为( )
A.28B.114
C.14D.17
(2)已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝( )
A.25B.5
C.259D.53
答案 (1)A (2)C
解析 (1)∵2a＝7b＝k，
∴a＝lg2k，b＝lg7k，
∴1a＝lgk2，1b＝lgk7，
∴2a＋1b＝2lgk2＋lgk7＝lgk28＝1，
∴k＝28.
(2)由2a＝5两边同时取以2为底的对数，得
a＝lg25.
又b＝lg83＝lg23lg28＝13lg23，
∴a－3b＝lg25－lg23＝lg253＝lg453lg42
＝2lg453＝lg4259，
∴4a－3b＝4lg4259＝259.
感悟提升 1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练3 (1)若2a＝5b＝zc，且1a＋1b＝1c，则z的值为( )
A.7B.10
C.7D.10
(2)已知a＝lg23，4＝3b，则ab＝ .
答案 (1)B (2)2
解析 (1)设2a＝5b＝zc＝k>0，且k≠1，
则a＝lg2k，b＝lg5k，c＝lgzk，
所以1a＋1b＝1lg2k＋1lg5k＝lgk2＋lgk5＝lgk(2×5)＝lgk10＝1c＝lgkz，
所以z＝10.
(2)∵4＝3b，∴lg24＝blg23，b＝lg24lg23，
∴ab＝lg23×lg24lg23＝2.
一、单选题
1.若xlg32＝1，则2x＝( )
A.2B.3
C.12D.13
答案 B
解析 由xlg32＝1，得x＝1lg32＝lg23，
所以2x＝3.故选B.
2.已知ab≠1，lgam＝2，lgbm＝3，则lgabm等于( )
A.16B.15
C.56D.65
答案 D
解析 由换底公式得lgma＝1lgam＝12，
lgmb＝1lgbm＝13，因为ab≠1，
所以lgabm＝1lgm(ab)＝1lgma＋lgmb＝65.
3.化简38a−327b34(其中a>0，b>0)的结果是( )
A.2a3bB.－2a3b
C.1681a4b4D.－181a4b4
答案 C
解析 38a−327b34＝23a−333b343＝2a−13b4＝1681a4b4.
4.下列结论中正确的是( )
A.若a>0，则a43·a34＝a
B.若m8＝2，则m＝±82
C.若a＋a－1＝3，则a12＋a−12＝±5
D.4(2−π)4＝2－π
答案 B
解析 对于A，根据分数指数幂的运算法则，
可得a43·a34＝a43＋34＝a2512，
当a＝1时，a2512＝a;
当a≠1时，a2512≠a，故A错误;
对于B，m8＝2，故m＝±82，故B正确;
对于C，a＋a−1＝3，则a12＋a−122＝a＋a－1＋2＝3＋2＝5，
因为a>0，所以a12＋a−12＝5，故C错误;
对于D，4(2−π)4＝|2－π|＝π－2，故D错误.
5.已知4a＝8，2m＝9n＝6，且1m＋12n＝b，则a＋b＝( )
A.52B.18
C.116D.2
答案 A
解析 ∵4a＝8，2m＝9n＝6，
∴a＝lg48＝lg28lg24＝32，m＝lg26，n＝lg96，
∴b＝1m＋12n＝lg62＋12lg69＝1，
∴a＋b＝32＋1＝52.
6.若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则yx的值为( )
A.4B.1或14
C.1或4D.14
答案 D
解析 ∵2lg(x－2y)＝lg(x－2y)2＝lg x＋lg y＝lg(xy)，
∴(x－2y)2＝xy，
即x2－5xy＋4y2＝0，xy2－5xy＋4＝0，
∴xy−4xy−1＝0，
解得xy＝1或xy＝4.
又∵x－2y>0，且x>0，y>0，
∴xy>2，
∴xy＝4，即yx＝14.
7.已知lg189＝a，18b＝5，则lg4581＝( )
A.－aa＋bB.2−aab
C.2aa＋bD.2−aa＋b
答案 C
解析 由lg189＝a，18b＝5，得a＝lg189，b＝lg185，所以lg4581＝lg1881lg1845＝2lg189lg189＋lg185＝2aa＋b.故选C.
二、多选题
8.下列化简中正确的有( )
A.(a16)－1·(a－2)−13＝a12
B.(xa−1y)a·(4y－a)＝4x
C.[(1－2)2]12－(1＋2)－1＋(1＋2)0＝3－22
D.2a3b23·(－5a23b13)÷(43a4b5)＝－52a73b−23
答案 ABD
解析 对于A，(a16)－1·(a－2)−13＝a−16＋23＝a12，正确;
对于B，(xa−1y)a·(4y－a)＝4x1a×a·ya－a＝4xy0＝4x，正确;
对于C，[(1－2)2]12－(1＋2)－1＋(1＋2)0＝(2－1)2×12－11＋2＋1＝2－1－(2－1)＋1＝1，故错误;
对于D，2a3b23·(－5a23b13)÷(43a4b5)＝
[2×(－5)÷4]a3＋23−43b23＋13−53＝－52a73b−23，正确.故选ABD.
9.以下运算中正确的有( )
A.若lg 3＝m，lg 2＝n，则lg518＝2m＋n1−n
B.若xlg319＝14，则x＝2
C.13−2－2ln(ln ee)＝7
D.lg23·lg94＝2
答案 AC
解析 对于A，lg518＝lg18lg5＝lg2＋lg91−lg2＝2lg3＋lg21−lg2＝2m＋n1−n，故A正确;
对于B，因为lg319＝lg33－2＝－2，则x－2＝14，即x＝±2，故B错误;
对于C，13−2－2ln(ln ee)＝9－2ln e＝9－2＝7，故C正确;
对于D，lg23·lg94＝lg23·lg24lg29＝lg23·22lg23＝1，故D错误.
三、填空题
10.已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝ .
答案 e
解析 f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e.
11.计算:lg381－lg98·lg23－2lg23＋lg 2＋lg 5＝ .
答案 0
解析 原式＝lg334－32·lg32·lg23－3＋lg10＝4－32－3＋12＝0.
12.化简a3b23ab2(a14b12)4·3ba(a>0，b>0)的结果是 .
答案 ab
解析 a3b23ab2(a14b12)4·3ba＝a32b·a16b13(a14b12)4·a−13·b13
＝a32＋16−1＋13b1＋13−2−13＝ab－1＝ab.
四、解答题
13.计算下列各值:
(1)2590.5＋2764−23＋0.1－2－319×π0;
(2)lg 25＋23lg 8－lg227×lg32＋2lg23;
(3)(lg29)×(lg32)×1823
解 (1)原式＝259＋1327642＋11102－319＝53＋169＋100－319＝100.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2－3lg23×lg32＋3
＝2(lg 5＋lg 2)－3＋3＝2.
(3)(lg29)×(lg32)×1823
＝2lg23×1lg23×18132
＝2lg33×122＝4×14＝1.
14.已知函数f(x)＝ax＋a−x2(a>0，a≠1，a为常数，x∈R).
(1)若f(m)＝6，求f(－m)的值;
(2)若f(1)＝3，求f(2)，f12的值.
解 (1)因为f(m)＝6，所以am＋a−m2＝6，
所以f(－m)＝a−m＋am2＝6.
(2)因为f(1)＝3，所以a＋a−12＝3，
所以a＋a－1＝6，
所以f(2)＝a2＋a−22＝(a＋a−1)2−22＝17.
因为a12＋a−122＝a＋a－1＋2＝8，
所以a12＋a−12＝22，
所以f12＝a12＋a−122＝2.