数学对数的运算导学案

这是一份数学对数的运算导学案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【自主学习】
一．对数的运算性质
若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有：
(1)lga(M·N)＝ .
(2)lgaeq \f(M,N)＝ .
(3)lgaMn＝ (n∈R).
注意：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，lg2[(－3)·(－5)]＝lg2(－3)＋lg2(－5)是错误的．
二.换底公式
lgab＝ (a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0).
由换底公式推导的重要结论：
(1)lganbn＝lgab. (2)lganbm＝eq \f(m,n)lgab.
(3)lgab·lgba＝1. (4)lgab·lgbc·lgcd＝lgad.
【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)lg2x2＝2lg2x. ( )
(2)lga(xy)＝lgax·lgay.( )
(2)lga[(－2)×(－3)]＝lga(－2)＋lga(－3)． ( )
(4)lgx2＝eq \f(1,lg2x). ( )
2.计算lg84＋lg82等于( )
A．lg86 B．8 C．6 D．1
3.计算lg510－lg52等于( )
A．lg58 B．lg 5 C．1 D．2
【经典例题】
题型一 对数运算性质的应用
点拨：利用对数运算性质化简与求值的原则和方法
1.基本原则：
①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.
2.两种常用的方法：
①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；
②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).
例1 求下列各式的值：
(1)lg345－lg35；
(2)lg 25＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2；
(3)lg14－2lgeq \f(7,3)＋lg7－lg18。
【跟踪训练】1 计算(1)2lg63＋lg64；
(2)(lg 25－lg eq \f(1,4))÷ ；
(3) .
题型二 对数换底公式的应用
点拨：1.化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．
2.常用的公式有：lgab·lgba＝1，lganbm＝eq \f(m,n)lgab，lgab＝eq \f(1,lgba)等．
例2 计算：①lg29·lg34；②.
【跟踪训练】2 (1)lg2eq \f(1,25)·lg3eq \f(1,8)·lg5eq \f(1,9)＝________.
(2)计算(lg2125＋lg425＋lg85)(lg52＋lg254＋lg1258)的值.
题型三 利用对数式与指数式的互化解题
点拨：1.在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.
2.对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
例3 (1)设3a＝4b＝36，求eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的值；
(2)已知2x＝3y＝5z，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，求x，y，z.
【跟踪训练】3 (1)已知3a＝5b＝M，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，则M＝________.
(2)已知lg23＝a，lg37＝b，试用a，b表示lg1456.
【当堂达标】
1．(多选)下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )
A．lgax·lgay＝lga(x＋y) B．
C.eq \f(lgax,n)＝lgaeq \r(n,x) D.eq \f(lgax,lgay)＝lgax－lgay
2.已知a＝lg32，那么lg38－2lg36用a表示是( )
A.a－2 B.5a－2 C.3a－(1＋a)2 D.3a－a2
3.求值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．1
4.已知，，则______．
5.设2x＝5y＝m，且eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝2，则m＝ .
6.证明“lgab·lgbc·lgcd＝lgad”.
【课堂小结】
1.知识
(1)对数的运算性质；(2)换底公式．
2.方法
(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．
(2)利用结论lgab·lgba＝1，lganbm＝eq \f(m,n)lgab化简求值更方便．
【参考答案】
【自主学习】
lgaM＋lgaN lgaM－lgaN nlgaM eq \f(lgcb,lgca)
【小试牛刀】
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.D 解析：lg84＋lg82＝lg88＝1.
3.C解析：lg510－lg52＝lg55＝1.
【经典例题】
例1 解：(1)lg345－lg35＝lg3eq \f(45,5)＝lg39＝lg332＝2.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.
【跟踪训练】1 解：(1)原式＝lg632＋lg64＝lg6(32×4)＝lg6(62)＝2lg66＝2.
(2)原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg \f(25,\f(1,4))))÷ ＝lg 102÷10－1＝2×10＝20.
(3)原式＝lg2.5(2.5)2＋eq \f(1,2)－ ＝2＋eq \f(1,2)－eq \f(4,10)＝eq \f(21,10).
例2 解：①原式＝eq \f(lg9,lg2)·eq \f(lg4,lg3)＝eq \f(lg32·lg22,lg2·lg3)＝eq \f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.
②原式.
【跟踪训练】2（1）－12 解析：原式＝eq \f(lg\f(1,25),lg2)·eq \f(lg\f(1,8),lg3)·eq \f(lg\f(1,9),lg5)＝eq \f(－2lg5·－3lg2·－2lg3,lg2lg3lg5)＝－12.
(2)法一 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg253＋\f(lg225,lg24)＋\f(lg25,lg28)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(lg54,lg525)＋\f(lg58,lg5125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3lg25＋\f(2lg25,2lg22)＋\f(lg25,3lg22)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg52＋\f(2lg52,2lg55)＋\f(3lg52,3lg55)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋1＋\f(1,3)))lg25·(3lg52)
＝13lg25·eq \f(lg22,lg25)＝13.
法二 原式＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 125,lg 2)＋\f(lg 25,lg 4)＋\f(lg 5,lg 8)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(lg 4,lg 25)＋\f(lg 8,lg 125)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3lg 5,lg 2)＋\f(2lg 5,2lg 2)＋\f(lg 5,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(lg 2,lg 5)＋\f(2lg 2,2lg 5)＋\f(3lg 2,3lg 5)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13lg 5,3lg 2)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(lg 2,lg 5)))＝13.
例3解：(1)由3a＝4b＝36，
得a＝lg336，b＝lg436，由换底公式得eq \f(1,a)＝lg363，eq \f(1,b)＝lg364，
∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝2lg363＋lg364＝lg3636＝1.
(2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，
∴x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，
∴eq \f(1,x)＝lgk2，eq \f(1,y)＝lgk3，eq \f(1,z)＝lgk5，
由eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＋eq \f(1,z)＝1，得lgk2＋lgk3＋lgk5＝lgk30＝1，
∴k＝30，
∴x＝lg230＝1＋lg215，y＝lg330＝1＋lg310，z＝lg530＝1＋lg56.
【跟踪训练】3 (1)eq \r(15) 解析：由3a＝5b＝M，得a＝lg3M，b＝lg5M，故eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lgM3＋lgM5＝lgM15＝2，∴M＝eq \r(15).
(2)由已知lg32＝eq \f(1,a)，lg37＝b，lg1456＝eq \f(lg356,lg314)＝＝eq \f(3lg32＋lg37,lg32＋lg37)＝eq \f(\f(3,a)＋b,\f(1,a)＋b)＝eq \f(3＋ab,1＋ab).
【当堂达标】
1. BC 解析：根据对数的运算性质知，BC正确．
2.A 解析：原式＝lg323－2lg32－2lg33＝lg32－2＝a－2.
3.B 解析：因为，，
所以，故选：B.
4. 解析：因为，所以，又，所以，所以，，故答案为：
5. eq \r(10) 解析：∵2x＝5y＝m，两边取常用对数．得x＝lg2m＝eq \f(lg m,lg 2)，y＝lg5m＝eq \f(lg m,lg 5)，
∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \f(lg 2＋lg 5,lg m)＝eq \f(1,lg m)＝2，
∴lg m＝eq \f(1,2)，∴m＝eq \r(10).
6. 证明：lgab·lgbc·lgcd＝eq \f(lgb,lga)·eq \f(lgc,lgb)·eq \f(lgd,lgc)＝eq \f(lgd,lga)＝lgad.课程标准
学科素养
1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．
2.掌握换底公式及其推论．
3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．
1、直观想象
2、数学运算
3、数学抽象