人教A版 (2019)必修 第一册对数的运算同步测试题

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1.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①特殊对数：；；其中且
②对数恒等式：(其中且，)
③对数换底公式：如：．
(4)对数的运算法则：
①外和内乘原理：；
②外差内除原理：；
③提公次方法：，；
④指中有对，没心没肺：和 如：，．
(5)换底公式和对数运算的一些方法：
①常用换底： 如：．
②倒数原理： 如：．
③约分法则： 如： ；．
④归一法则：．
【题型目录】
题型一：对数的定义
题型二: 指数对数的互化
题型三: 对数的运算求值
题型四：换底公式的应用
题型五：对数式的应用题
【典型例题】
题型一：对数的定义
【例1】在中，实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意，要使式子有意义，则满足，
解得或，即实数的取值范围为.故答案为：.
【题型专练】
1．使式子有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且
【答案】D
【分析】对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围.
【详解】由题意得：，解得：且.故选：D
2.若有意义，则实数k的取值范围是______.
【答案】
【分析】结合对数性质建立不等关系，即可求解.
【详解】若有意义，则满足，解得.故答案为：
题型二: 指数对数的互化
【例1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）53=125； （2）4-2=； （3）lg3=-3.
【答案】（1）lg5125=3；（2）；（3）
【解析】（1）∵53=125，∴lg5125=3.（2）∵，∴.（3）∵，∴
【题型专练】
1.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由可得；
（2）由得；
（3）由可得．
2.指数式和对数式互相转化：
（1）____________．（2）____________．
（3）____________．（4）____________．
【答案】
【解析】.故答案为：，，，.
题型三: 对数的运算求值
【例1】已知，则（ ）
A．25B．5C．D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为，，即，所以．故选：C.
【例2】设函数，则=（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解
【详解】函数，则，，
所以.故选：C
【例3】计算：（1）_________．
（2）_________．
（3）_________．
（4）__________．
（5）__________．
【答案】1
【解析】（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）所以原式
故答案为：1，，，，
【例4】已知，则______．
【答案】10
【分析】由同底数对数加法公式以及，可得答案.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
【例5】计算：__________
【答案】1
【分析】根据指数的运算以及对数的运算性质即可求出．
【详解】原式＝．故答案为：1．
【例6】已知，，且，则的最小值为___________.
【答案】
【分析】由可得，则化简后利用基本不等式可求得答案
【详解】因为，所以，所以，
因为，，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，
故答案为：
【题型专练】
1.设，则（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【详解】因，所以，故
2.若，则_________.
【答案】5
【分析】根据给定的分段函数，直接代值计算作答.
【详解】因函数，所以.故答案为：5
3.计算：______
【答案】
【解析】原式.故答案为：
4.计算___________
【答案】
【分析】利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答
【详解】.故答案为：
6.设函数，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】根据给定的分段函数，判断自变量取值区间，再代入计算作答.
【详解】因，则，而，
所以.故选：D
7.若，，，则的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【详解】因，所以，所以，所以，
即，所以
8.计算:________．
【答案】4
【解析】原式．故答案为：4.
9.计算：____.
【答案】
【解析】原式
，故答案为： .
题型四：换底公式的应用
【例1】已知，，则（ ）
A．1B．2C．5D．4
【答案】A
【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.
【详解】∵，，∴，，
．故选：A
【例2】设，且，则（ ）
A．B．10C．20D．100
【答案】A
【解析】由，可得，，由换底公式得，，
所以，又因为，可得．故选：A.
【例3】已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【详解】因为，，所以．故选：D.
【例4】化简的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【分析】根据对数的性质可求代数式的值.
【详解】原式，故选：B
【例5】若实数、、满足，则下列式子正确的是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由指数式化对数式，然后利用换底公式得出，，，利用对数的运算性质和可得出成立.
【详解】由已知，得 ，得 ， ，，所以，，，而，则，
所以，即 .故选A.
【题型专练】
1．已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对数运算法则，以及指对互化，即可判断选项.
【详解】，两式相除得，又，所以.
故选：B.
2.已知，若，则___________.
【答案】8
【分析】利用指数函数、对数函数的性质、运算法则直接求解．
【详解】解：由，且所以是方程的两根，
解得或，又，所以，即，又从而，且，则，．所以.故答案为：8.
3.已知，用含的式子表示_________.
【答案】
【解析】.故答案为：
4．若，且，则_____________．
【答案】
【分析】由，可得，，，从而利用换底公式及对数的运算性质即可求解.
【详解】解：因为，所以，，，又，
所以，所以，所以，
故答案为：.
5.把满足，为整数的叫作“贺数”，则在区间内所有“贺数”的个数是______．
【答案】4
【分析】利用换底公式计算可得，即可判断.
【详解】解：因为，
又，，，，，……，
所以当，，，时，为整数，所以在区间内“贺数”的个数是．
故答案为：
6.若均为不等于1的正数，且满足,则 .
【答案】3
【详解】因，所以，因，所以，
所以，因为，
所以
题型五：对数式的应用题
【例1】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足
，其中星等为的星的亮度为．已知太阳的星等是，天狼星的星等是
，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ）
A． B．C．D．
【答案】A
【详解】设太阳的星等为，对应的亮度为，天狼星的星等为，对应的亮度为，
则由得，即，所以，所以
【例2】Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公
布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(的单位：天)的Lgistic模型：，其
中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为()（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意知，所以，即，所以，所以，即，所以，所以
【例3】青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )
A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6
【答案】C
【详解】由题意知，所以，即
【例4】地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．里氏震级是用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波的最大振幅的对数值来表示的．里氏震级的计算公式为，其中是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）．根据该公式可知，2021年7月28日发生在美国阿拉斯加半岛以南91公里处的级地震的最大振幅约是2021年8月4日发生在日本本州近岸级地震的最大振幅的（ ）倍（精确到1）．（参考数据：，，）
A．794B．631C．316D．251
【答案】A
【分析】将阿拉斯加半岛的震幅 和日本本州近岸5.3级地震的震幅 表示成指数形式，作商即可.
【详解】由题意，即，则；
当时，地震的最大振幅，当时，地震的最大振幅，
所以，即；故选：A．
【例5】一热水放在常温环境下经过t分钟后的温度T将合公式：，其中是环境温度，为热水的初始温度，h称为半衰期．一杯85℃的热水，放置在25℃的房间中，如果热水降温到55℃，需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降温到55℃，大约需要多少分钟?（ ）（）
A．11.3B．13.2C．15.6D．17.1
【答案】B
【分析】依题意求出半衰期，再把的值代入利用换底公式计算，即可求出结果．
【详解】解：根据题意，，即，解得，，
即，所以，所以；故选：B
【题型专练】
1.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1以下（不含0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．128B．130C．132D．134
【答案】B
【分析】由已知可得，再由，结合指对数关系及对数函数的性质求解即可.
【详解】由题设，，则，所以，即，
所以所需的训练迭代轮数至少为130次.故选：B
2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为．已知星的星等是，星的星等是，则星与星的亮度的比值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，运用代入法，结合对数与指数的互化公式进行求解即可.
【详解】因为，星的星等是，星的星等是，
所以，故选：A
3.某种类型的细胞按如下规律分裂：每经过1小时，有约占总数的细胞分裂一次，分裂细胞由1个细胞分裂成2个细胞，现有100个细胞按上述规律分裂，要使细胞总数超过个，需至少经过（ ）（参考数据：，）
A．44小时 B．45小时 C．46小时 D．47小时
【答案】C
【详解】设小时后，细胞总数为，则，令，可得，两边取对数可得，又因，所以
4.地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式，表示里氏震级，是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数 (答案精确到个位，参考数据：，，，)
A．1995 B．398 C．89 D．48
【答案】A
【详解】设7.8级地震的最大振幅是，4.5级地震的最大振幅，依题意得：，，两式相减得则由，又因，所以
5.某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是
(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)
(A)2018年 (B) 2019年 (C)2020年 (D)2021年
【答案】B
【详解】设年开始超过200万元，则，即，两边取对数得，即，所以，又因，所以取
6.常见的三阶魔方约有种不同的状态，将这个数记为，二阶魔方有种不同的状态，将这个数记为，则下列各数与最接近的是（ ）（参考数据：）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】，因为，所以，所以.