新高考数学一轮复习考点学案第2章§2.7指数运算与对数运算（含答案解析）

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1.根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(3)(na)n＝ .
当n为奇数时，nan＝ ，
当n为偶数时，nan＝|a|＝a,a≥0,−a,a0，m，n∈N*，n>1).
正数的负分数指数幂：a−mn＝ ＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1).
0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈R).
4.对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ ，其中____________叫做对数的底数， 叫做真数.
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
5.对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝ ，lgaa＝ ，algaN＝ (a>0，且a≠1，N>0).
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①lga(MN)＝ ；
②lgaMN＝ ；
③lgaMn＝ (n∈R).
(3)对数换底公式：lgab＝lgcblgca(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)4(−4)4＝－4.( )
(2)若M＝N，则lgaM＝lgaN.( )
(3)2a·2b＝2ab.( )
(4)lg 2＋lg 5＝1.( )
2.(多选)下列运算正确的有( )
A.lg 2＋lg 3＝lg 5B.lg3100＝10lg310
C.4lg45＝5D.lg34·lg43＝1
3.若a25＝425(a>0且a≠1)，则lga25等于( )
A.254B.2
C.15D.5
4.2723＋4lg43－lg 5－lg 2＝ .
1.灵活应用指数幂化简常用的技巧
(1)ba−p＝abp(ab>0)；
(2)a＝(a1m)m，anm＝(a1m)n(a>0)；
(3)1的代换，如1＝a－1a(a>0)，1＝a−12a12(a>0)等；
(4)乘法公式的常见变形，如(a12＋b12)(a12－b12)＝a－b(a，b>0)，
(a12±b12)2＝a±2a12b12＋b(a，b>0)，
(a13±b13)(a23∓a13b13＋b23)＝a±b(a，b>0).
2.谨防两个易误点
(1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和积之间的转化.
题型一 指数运算
例1 (1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
A.a46＝3a2B.4a4＝a
C.(62)2＝36D.a−23＝－3a2
(2)计算：
664＋2723＋11000＋916−12＝ .
(3)若a12＋a−12＝3，则a2＋a－2＝ .
思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加.
②运算的先后顺序.
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
跟踪训练1 (1)2·3222132化简后的结果为( )
A.212B.232
C.216D.2−16
(2)计算：0.125−13－980＋[(−2)2]12＋(2×33)6＝ .
题型二 对数运算
例2 (1)(多选)下列运算中正确的是( )
A.lg37lg35＝lg75B.ln(ln e)＝0
C.lg222＝－1D.23−2lg23＝89
(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝ .
思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简.
(2)将同底对数的和、差、倍合并.
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
跟踪训练2 (1)(多选)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中不成立的是( )
A.lgab·lgca＝lgcb
B.lgab·lgcb＝lgca
C.lga(b＋c)＝lgab＝lgac
D.lga(bc)＝lgab·lgac
(2)计算：12lg 25＋lg 2－lg 0.1－lg29×lg32＝ .
题型三 指对运算的应用
例3 (1)(2025·皖豫天一大联考)放射性物质的衰变规律为M＝M0×12tT，其中M0指初始质量，t为衰变时间，T为半衰期，M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1，T2(单位：天)，若两种物质的初始质量相同，1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则1T2－1T1等于( )
A.31 024B.1512
C.11 024D.3512
(2)(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt，其中λ为与蓄电池结构有关的常数(称为Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5 A时，放电时间为60 h；当放电电流为25 A时，放电时间为15 h，则该蓄电池的Peukert常数λ约为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( )
思维升华 利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题.
跟踪训练3 (1)苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化其中的大数之间的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699，则231是( )
A.9位数B.10位数
C.11位数D.12位数
(2)某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但难以被清除.现已知3H的质量M(kg)随时间t(年)的指数衰减规律是：M＝M0·2－0.008t(其中M0为3H的初始质量).则当3H的质量衰减为最初的316时，所经过的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A.300年B.255年
C.175年D.125年
答案精析
落实主干知识
1.(3)a a
2.nam 1amn 0
3.ar＋s ars arbr
4.lgaN a N lg N ln N
5.(1)0 1 N (2)①lgaM＋lgaN
②lgaM－lgaN ③nlgaM
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.CD [lg 2＋lg 3＝lg 6，故A错误；
lg3100＝2lg310，故B错误；
4lg45＝5，故C正确；
lg34·lg43＝1，故D正确.]
3.C [由a25＝425，得lga425＝25，
∴lga252＝25，∴2lga25＝25，
∴lga25＝15.]
4.11
解析 2723＋4lg43－lg 5－lg 2＝(33)23＋3－(lg 5＋lg 2)＝32＋3－lg 10＝9＋3－1＝11.
探究核心题型
例1 (1)ABC [对于A，a46＝a23＝3a2，故A正确；
对于B，4a4＝|a|＝a，故B正确；
对于C，(62)2＝62×2＝62＝36，故C正确；
对于D，a−23＝1a23＝13a2，故D错误.]
(2)403
解析 664＋2723＋11000＋916−12＝(26)16＋(33)23＋1＋342−12＝2＋9＋1＋43＝403.
(3)47
解析 由a12＋a−12＝3，
两边平方得a＋a－1＝7，两边再平方可得a2＋a－2＝47.
跟踪训练1 (1)C [2·3222132
＝2·223223＝253223＝256223＝256−23
＝216.]
(2)75
解析 0.125−13－980＋[(−2)2]12＋(2×33)6
＝123−13－1＋2＋212×6×313×6
＝2＋1＋8×9＝75.
例2 (1)BCD [对于A，lg37lg35＝lg57，故A错误；
对于B，ln(ln e)＝ln 1＝0，故B正确；
对于C，lg222＝lg2122−12＝−1212＝－1，故C正确；
对于D，23−2lg23＝2322lg23＝82lg232＝89，故D正确.]
(2)e
解析 f(ln 2)f(ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2＋ln 4
＝a3ln 2＝aln23＝8，
∴aln 2＝2，∴a＝e.
跟踪训练2 (1)BCD [对于A，lgab·lgca＝lgblga·lgalgc＝lgblgc＝lgcb，故A正确；
对于B，lgab·lgcb＝lgblga·lgblgc，而lgca＝lgalgc，故B错误；
对于C，若lga(b＋c)＝lgab＝lgac，则b＋c＝b＝c，故b＝c＝0，显然不符合要求，故C错误；
对于D，lga(bc)＝lgab＋lgac，故D错误.]
(2)－12
解析 原式＝lg 5＋lg 2－lg 10−12－2lg23×lg32＝1－−12－2
＝－12.
例3 (1)A [由题意可得M0×121 024T1＝8M0×121 024T2，即1 024T1＝1 024T2－3，
即1T2－1T1＝31 024.]
(2)D [由题意知C＝7.5λ×60
＝25λ×15，
所以257.5λ＝103λ＝6015＝4，
两边取以10为底的对数，
得λlg 103＝2lg 2，
所以λ＝2lg21−lg3≈2×0.3011−0.477
≈1.15.]
跟踪训练3 (1)B [记231＝M，
则31×lg 2＝lg M，
则lg M＝31×(1－lg 5)≈9.331，
则M≈109.331∈(109，1010)，
故231是10位数.]
(2)A [设经过的时间为t年，根据题意316M0＝M0·2－0.008t，
所以－0.008t＝lg2316＝lg 316lg2＝lg3−lg16lg2＝lg3lg2－lg16lg2＝lg3lg2－4≈－4＝－2.4，
所以t≈−2.4−0.008＝300.]