2027届高中数学高考一轮复习学案第二章　第12课时　指数运算与对数运算

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1．(人教A版必修第一册P105例1改编)下列各式正确的是( )
A．a0＝1B．3(−2)3＝－2
C．(−2)2＝−2D．4a4＝a
2．(苏教版必修第一册P99本章测试T12(2)改编)计算式子lg 2－lg15－e2ln 2的值为( )
A．－3B．－2
C．－1D．－12
3．(湘教版必修第一册P116例2改编)12−lg25＝( )
A．－5B．25
C．52D．5
4．(人教B版必修第二册P53复习题B组T5改编)若实数m，n，t满足5m＝7n＝t且1m+1n＝2，则t＝( )
A．23B．12
C．5 D．35
5．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(lg43＋lg83)×lg32＝___________．
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
(2)式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(3)(na)n＝_____．
当n为奇数时，nan＝_____；
当n为偶数时，nan＝|a|＝a，a≥0，−a，a0，m，n∈N*，n>1)．
正数的负分数指数幂：a−mn＝1amn＝1nam(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分数指数幂等于_____，0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝__________________；(ar)s＝__________________；(ab)r＝___________(a>0，b>0，r，s∈R)．
4．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作__________________，其中___________叫做对数的底数，___________叫做真数．
以___________为底的对数叫做常用对数，lg10N记为___________．
以___________为底的对数叫做自然对数，lgeN记为___________．
5．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：lga1＝_____，lgaa＝_____(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质：
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝______________________；
②lgaMN＝______________________；
③lgaMn＝___________(n∈R)．
(3)对数恒等式：algaN＝___________(a>0，且a≠1，N>0)．
(4)对数换底公式：lgab＝lgcblgca(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
[二级结论]
(1)lgab＝1lgba；
(2)lgambn＝nmlgab；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad．
(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；d>0；m≠0)
1．指对互化：ax＝N⇔x＝lgaN(a>0，且a≠1)．
2．对数运算的技巧：统一底数、化简真数、利用对数恒等式、常值代换(如lg 2＋lg 5＝1)等．
考点一 指数运算
[典例1] (1)(2025·河南新乡二模)82 53+5＝( )
A．16B．82
C．32D．162
(2)(2025·江苏扬州模拟)已知a>0，则a13a12a化为( )
A．a712B．a512
C．a56 D．a13
(3)(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)( )
A．0.2512+(5π)0－2-1＝0
B．278−23−4990.5+(0.008)−23×125+(π−1)0＝19
C．(23a2·b)(−6a·3b)÷(−36a·6b5)＝1
D．若x12+x−12＝6，则x+x−1x2+x−2−2＝13





名师点评：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算．
(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
[巩固迁移]
1．(2026·湖北荆州模拟)已知x0，化简49x8y4得( )
A．－3x2yB．3x2y
C．－3x2yD．3x2y
考点二 对数运算
[典例2] (1)(2025·重庆模拟)已知 2x＝3y＝5z(x，y，z≠0)，且 1x+1y＝az，则 a＝( )
A．lg23B．lg25
C．lg35D．lg56
(2)(2024·全国甲卷)已知a>1且1lg8a−1lga4＝−52，则a＝___________．
(3)计算：lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2＝___________．





名师点评：解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
[巩固迁移]
2．计算lg34273+lg 25+lg 4+7lg72的值为( )
A．－14B．4
C．−154 D．154
3．(2025·八省联考)已知函数f (x)＝ax(a>0，a≠1)，若f (ln 2)f (ln 4)＝8，则a＝___________．
考点三 指对运算的应用
[典例3] 德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t(单位：h)的变化趋势可由函数y＝1－近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )
A．1 hB．0.5 h
C．0.8 hD．0.4 h





名师点评：利用指数、对数运算解决实际问题时，要认清所给函数模型、变量、参数，同时结合运算表达式选择合适的公式(如取对数、指对互化等)运算．
[巩固迁移]
4．(2025·东城区期末)近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一．现有一台计算机平均每秒可进行1014次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要250次运算，则生成这个文案需要的时间约为(参考数据：lg 2≈0.30)( )
A．1秒B．10秒
C．20秒D．50秒
第12课时 指数运算与对数运算
以题引理·激活思维
N1．深研教材典题
1．B 2．A 3．D 4．D 5．56
N2．储备知识要点
1．(3)a a
2．0
3．ar+s ars arbr
4．x＝lgaN a N 10 lg N e ln N
5．(1)0 1 (2)lgaM＋lgaN lgaM－lgaN nlgaM (3)N
精研考点·提升素养
考点一
典例1 (1)A (2)B (3)BD [(1)原式＝23253+5＝2(3−5)(3+5)＝24＝16．故选A．
(2)原式＝a13a12·a12＝a13·a12＝a12×56＝a512．故选B．
(3)对于A，0.2512＋(5π)0－2-1＝0.5＋1－12＝1，A错误；
对于B，278−23－4990.5＋(0.008)−23×125＋(π－1)0＝32−2－73+15−2×125＋1＝49－73＋25×125＋1＝49－73＋2＝19，B正确；
对于C，原式＝(2a23b12)(－6a12b13)÷(－3a16b56)＝[2×(－6)÷(－3)]a23+12−16·b12+13−56＝4ab0＝4a，C错误；
对于D，当x12+x−12＝6时，(x12+x−12)2＝x＋2＋x-1＝6，得x＋x-1＝4，由(x＋x-1)2＝x2＋2＋x-2＝16，得x2＋x-2＝14，所以x+x−1x2+x−2−2＝414−2＝13，D正确．故选BD．]
巩固迁移
1．B [x0，化简49x8y4＝3x84y44＝3x2y．故选B．]
考点二
典例2 (1)D (2)64 (3)2 [(1)设2x＝3y＝5z＝k(k>0，且k≠1)，
则x＝lg2k，y＝lg3k，z＝lg5k，
由1x+1y＝az，得1lg2k+1lg3k＝lgk2＋lgk3＝lgk6＝algk5，
因此6＝5a，故a＝lg56．
故选D．
(2)由题意1lg8a－1lga4＝3lg2a－12lg2a＝－52，整理得(lg2a)2－5lg2a－6＝0，
解得lg2a＝－1或lg2a＝6．又a>1，
所以lg2a＝6＝lg226，故a＝26＝64．
(3)原式＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 2＋lg 2×lg 5＋(lg 2)2
＝1＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝1＋lg 5＋lg 2＝1＋lg 10＝2．]
巩固迁移
2．D [原式＝lg3427－lg33＋lg 52＋lg 22＋2＝14lg333－1＋2lg 5＋2lg 2＋2＝154．]
3．e [∵f (ln 2)f (ln 4)＝aln 2aln 4＝aln 2+ln 4＝a3ln 2＝(aln 2)3＝8，∴aln 2＝2，∴a＝e．]
考点三
典例3 B [设经历时间t1记忆率变为50%，
则12＝1－，整理得到56＝t10.27，
两边取以10为底的对数，得到lg56＝0.27lg t1，
所以lg t1＝lg560.27＝lg 5−lg 60.27＝1−2lg 2−lg 30.27≈－0.3≈－lg 2＝lg12，所以t1≈0.5．
设经历时间t2记忆率变为40%，
则0.4＝1－，整理得到1＝t20.27，解得t2＝1，
所以记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为t2－t1＝0.5 h．故选B．]
巩固迁移
4．B [设生成文案所需时间为x秒，则1014x＝250，两边同时取常用对数可得，14＋lg x≈50×0.3，解得x≈10．故选B．]