初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形3 矩形的性质与判定第1课时教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形3 矩形的性质与判定第1课时教案，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时

一、教学目标
1.理解并掌握矩形的性质定理，能利用矩形的性质定理进行证明和计算.
2.经历矩形性质定理和直角三角形性质定理的探索过程，进一步发展合情推理能力.
3.能够用综合法证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理，进一步发展演绎推理能力.
4.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.

二、教学重难点
重点：掌握矩形的性质定理和直角三角形性质定理.
难点：探究证明矩形的性质定理和直角三角形性质定理.

三、教学过程
情境导入
教师活动：提出问题让学生思考后回答，再引出新问题.
问题：回顾学过的知识，完成下列填空：
矩形的定义：
有一个角是_______的______________叫作矩形.
矩形的一般性质：
矩形是_______图形，有_____条对称轴.
矩形还是__________图形，对称中心是______________.
矩形具有_____________的一切性质：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分.
预设答案：直角 平行四边形 轴对称 两 中心对称 对角线的交点 平行四边形
追问：矩形也是特殊的平行四边形，类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究？与同伴进行交流.
预设答案：需要研究矩形的性质、判定方法，以及周长和面积的计算等问题.
可以通过观察猜想、几何证明来进行研究.
设计意图：回顾矩形的定义和与平行四边形的关系，引出矩形是特殊的平行四边形，具有特殊的性质，为本节课的学习作铺垫.
探究新知
活动一：矩形的性质定理
做一做：你认为矩形还具有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？与同伴进行交流
预设答案：用量角器和直尺分别量一量矩形纸片的角和对角线，
可以发现：
矩形的四个角都是直角.
矩形的对角线相等.
追问：你能证明这些性质吗？
设计意图：鼓励学生自主量一量矩形的四个角及对角线，发现结论，并猜想.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.
求证：(1)∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；(2) AC = DB.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行).
∴∠ABC +∠BCD = 180°.
又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°.
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = DC(矩形的对边相等)，
在△ABC和△DCB中，
∵AB = DC，∠ABC = ∠DCB，BC = CB.
∴△ABC ≌△DCB.
∴AC = DB.
设计意图：通过证明让学生明确矩形的性质，培养学生的逻辑推理能力.
总结：矩形的性质定理：
定理 矩形的四个角都是直角.
定理 矩形的对角线相等.
几何语言：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=BD.
设计意图：通过归纳进一步熟悉矩形的性质，培养归纳概括能力.
活动二：直角三角形斜边中线的性质
想一想：如图(1)，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD相交于点E.将矩形纸片沿AC剪开，得到图(2)所示的图形，BE是Rt△ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到什么结论？
预设答案：BE是Rt△ABC的中线，BE=12AC.
猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
追问：你能证明这个结论吗？
设计意图：鼓励学生自主量一量两条线段，发现结论，并猜想.
已知：如图，在矩形ABCD中, 对角线AC与BD相交于点E.
求证：BE=12AC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = DB(矩形的对角线相等)，
∴BE=12DB=12AC.
设计意图：通过证明让学生明确直角三角形的性质，培养学生的逻辑推理能力.
总结：定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
应用新知
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
教材例题
例1：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)，
AC=BD(矩形的对角线相等)，
OA=OC=12AC，OB=OD=12BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD.
∵∠AOD=120°，
∴∠ODA=∠OAD=12(180°−120°)=30°.
∴BD=2AB=2×2.5=5.
追问：还有其他解法吗？
分析：由矩形的性质可得，AC=BD，AO=CO=12AC，BO=DO=12BD，又由∠AOD=120°，所以
∠AOB=60°，从而可得△AOB是等边三角形.再由等边三角形的性质可得AO=BO=2.5，从而AC=BD=2AO=5.
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD.
∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.
∴△AOB是等边三角形.
∴AO=BO=AB=2.5.∴AC=2AO=5，
即矩形ABCD的对角线的长度为5.
设计意图：让学生在探究过程中进一步加深对矩形的性质的认识和理解，培养学生的应用意识.
课堂练习
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
【教材练习】
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长.
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD(矩形的对角线相等)，
∴BD=2OA= 8，
在 Rt△ABD中，AD2 + AB2 = BD2，
AD2 + 62 = 82，∴AD=64−36=27.
【自选练习】
2.一个矩形的对角线长为6，对角线与一边的夹角是45°， 求这个矩形的各边长.
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A =90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB=AD=BC=CD =32.
3.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长.
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD=15，
∴OD=OC=7.5，
又∵∠COD = 60°，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD =7.5 .
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1.矩形的性质定理有哪些？
2.直角三角形斜边上的中线有什么性质？
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.