初中数学北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定教学ppt课件

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册矩形的性质与判定教学ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了几何画板GSP，复习导入，探究新知经历过程，对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，中心对称图形，尝试·思考，探索活动，点击播放等内容，欢迎下载使用。
利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察：
对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形。
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形。
矩形是生活中常见的图形，你能举出一些生活中矩形的例子吗？与同伴交流。
类比菱形的学习，你认为需要研究矩形的哪些问题？怎样研究呢？与同伴进行交流。
你认为矩形有哪些特殊的性质？你是怎样发现的？能证明这些性质吗？
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？
矩形的四个角都是直角。
你能证明这两个定理吗？
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。求证：（1）∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°；
证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB（矩形的对角相等）， AB∥DC（矩形的对边平行）。∴∠ABC +∠BCD = 180°。又∵∠ABC = 90°，∴∠BCD = 90°。∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB = 90°。
已知：如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O。求证：（2）AC = DB。
（2）∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB = DC（矩形的对边相等），在△ABC 和 △DCB 中，∵AB = DC,∠ABC = ∠DCB，BC = CB。∴△ABC ≌∠DCB。∴AC = DB。
∵四边形 ABCD 是矩形∴∠DAB = ∠DCB =∠ADC =∠ABC = 90°
∵四边形 ABCD 是矩形∴ AC = DB
请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。  （1）矩形是不是中心对称图形？ 如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形？如果是，那么对称轴有几条？
矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点
矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
矩形的对边平行且相等。
矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
如图，在矩形纸片 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E。将矩形纸片沿 AC剪开，得到如图所示的图形，
BE 是Rt△ABC 中一条怎样的线段？它与 AC 有什么大小关系？由此你能得到什么结论？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB = DC（矩形的对边相等），∴BE = DE = AE = CE,在Rt△ABC 中，AC为斜边，BE 为斜边上中线，∴BE = AC。
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是斜边 AB 的中点。可得：
例1 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长。
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠DAB = 90°（矩形的四个角都是直角），AC = BD（矩形的对角线相等），OA = OC = AC，OB = OD = BD（矩形的对角线互相平分）。∴OA = OD。
∵∠AOD = 120°，∴∠ODA =∠OAD = (180°－ 120°) = 30°。∴BD = 2AB = 2×2.5 = 5。
1. 如图，在矩形 ABCD 中，有（ ）个直角三角形，分别为_________________________________，它们有什么关系？有（ ）个等腰三角形，分别为_________________________________，它们有什么关系？
△ABC、△BCD、△ADC、△DAB
△ABC≌△BCD≌△ADC≌△DAB
△AOB、△AOD、△COD、△BOC
△AOB≌△COD、△AOD≌△COB
2. 如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线。若∠A = 20°，则∠BCD 的度数为（ ）A. 110° B. 70°C. 50°D. 20°
3. 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC 与BD 相交于点 O，AB = 6，OA = 4. 求 BD 与 AD 的长。
【选自教材P13 随堂练习】
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AC = BD（矩形的对角线相等），∴BD = 2AO = 8，在 Rt△ABD 中，AD2 + AB2 = BD2，AD2 + 62 = 82，∴AD = 。
4. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 作OG⊥AC，交 AB 于点 G，连接 CG。若∠BOG = 15°，求∠BCG 的度数。
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝ 90°，BD = AC，OA = OC = AC，OB = OD = BD，∴OB = OC，∴∠OCB = ∠OBC。∵OG⊥AC，∴GA = GC，∠GOC = 90°，∴∠ACG = ∠CAG。
∵∠BOG ＝ 15°，∴∠BOC = ∠GOC － ∠BOG = 90°－ 15°= 75°，∴∠OCB = ∠OBC = （180°－∠BOC）= 52.5°，∴∠CAB = 90°－∠OCB = 37.5°，∴∠ACG = ∠CAB = 37.5°，∴∠BCG = ∠OCB －∠ACG = 52.5°－37.5°= 15°。
5. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE⊥BD，垂足为 E，且 AE 平分∠BAC，求AC 的长。
解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AO = CO。∵ AE 平分∠BAC，∴ ∠BAE =∠OAE。∵ AE⊥BD，∴ ∠AEB =∠AEO = 90°。又∵ AE = AE，∴ △ABE≌△AOE。∴ AB = AO = 3，∴ AC = 2AO = 6。
这节课你们都学会了哪些知识？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
具有平行四边形的一切特征.
直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.