初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定图片课件ppt

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1.探索并证明正方形的性质，了解平行四边形、矩形、菱形 之间的联系和区别。（重点、难点）2.能够运用正方形的性质解决相关问题。（难点）
问题：还记得正方形的定义吗？
正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
（1）正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？（2）你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流.
正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
定理：正方形的四个角都是直角，四条边相等.
定理：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
请你完成这两个定理的证明.
已知：如右图，四边形ABCD是正方形.求证：正方形ABCD 四边相等，四个角都是直角.
证明：∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC . （正方形的定义） 又∵正方形是平行四边形， ∴正方形是矩形, （矩形的定义） 正方形是菱形.(菱形的定义) ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC =CD =AD.
如图，四边形ABCD 是正方形.对角线AC，BD 相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
证明：∵正方形ABCD 是矩形, ∴AO =BO =CO =DO. ∵正方形ABCD 是菱形. ∴AC⊥BD.
例1 如图在正方形ABCD 中,E 为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC =DC,∠BCE =90°. （正方形的四条边都相等,四个角都是直角） ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF，∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE 交DE 于点M, ∵△BCE≌△DCF , ∴∠CBE =∠CDF. ∵∠DCF =90°, ∴∠CDF +∠F =90°. ∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
如图，四边形ABCD是正方形.（1）在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点A，C重合，则菱形的另外两个顶点需要满足怎样的条件？（2）在图中画一个矩形EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H依次在正方形ABCD的边AB，BC，CD，AD上，则矩形的四个顶点需要满足什么条件？
第1个问题中，在正方形中画菱形，则只能以AC为菱形的对角线.
（1）菱形的另外两个顶点都在正方形的对角线BD上，且两个顶点到BD的中点的距离相等.
根据菱形和正方形的对称性可知，菱形的另外两个顶点到点O的距离相等.
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
2.在正方形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，且AE =AB ，则∠EBC 的度数是 .
3.如图，在正方形ABCD 中，点F 为对角线 AC 上一点，连接BF, DF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明.
解：图中的全等三角形共有 3 对， 分别是 △ADC 与 △ABC, △FCD与 △FCB, △FAD 与 △FAB．
4.如图，正方形CEGF的顶点E，F在正方形ABCD 的边BC，CD上，且AB=5，CE=3，连接BG，DG， 则图中阴影部分的面积是_______.
5.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在AB 上且BE＝1，F 为对角线AC 上一动点，则 △BFE 周长的最小值为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8
6.如图，正方形ABCD 的边长为1cm，AC 为对角线，AE 平分 ∠BAC，EF⊥AC，求BE 的长．
3.对角线相等且互相垂直平分