初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十六章 二次函数26.2 二次函数的图象和性质26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质优秀一课一练

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知识点01
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的画法
（1）一般方法
列表、描点、连线
（2）简易画法：五点定形法
①先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
②求抛物线与 的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来。
2．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与性质
3．y=ax2+bx+c(a≠0)图象的特征与a、b、c及b2−4ac的符号之间的关系
【即学即练】
1．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2x的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
2．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ）
A．开口向下B．与y轴交于正半轴
C．对称轴在y轴左侧D．不经过第一象限
3．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（5，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y2＜y3
4．如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴交于点A−1,0，对称轴为直线x=1，则下列讨论中错误的是（ ）
A．abc0D．c+8a>0
知识点02
二次函数三种形式之间的相互关系
1.二次函数的三种形式
①一般式：
由定义可知，二次函数的一般式为 。
②顶点式：
能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。
即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。
③两点式（交点式）：
能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称。
④二次函数的一般式转化为顶点式：
利用配方法将一般形式转化为顶点式，过程如下：
y=ax2+bx+c
＝ax2+bax+c →第一步：提 ；
＝ax2+bax+b24a2−b24a2+c →第二步：配方：配 的一半的平方；
＝ax+b2a2−b24a+c →第三步：写成 形式；
＝ax+b2a2+4ac−b24a →第四步：写成 形式。
【即学即练】
5．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，﹣5）C．（1，﹣5）D．（﹣1，5）
6．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（ ）
A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．直线x＝2D．直线x＝6
7．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
8．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4B．y＝（x﹣1）2+4
C．y＝（x+1）2+3D．y＝（x﹣1）2+3
9. 在平面直角坐标系中，抛物线y=−x+1x−1经变换后得到抛物线y=−(x+2)2+1，则下列变换正确的是（ ）
A．向右平移3个单位B．向左平移3个单位
C．向右平移2个单位D．向左平移2个单位
题型01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与性质
【典例1】将二次函数y=−x2+4x−5化为y=ax−ℎ2+k的形式为（ ）
A．y=−x+22−1B．y=−x+22+1
C．y=−x−22+1D．y=−x−22−1
【典例2】将二次函数y=x2−2x−3的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y'的图象，则二次函数y'有（ ）
A．最大值−4B．最小值−4C．最小值−1D．最大值−1
【典例3】抛物线的图象如图，当x____________时，y≤0．
（1）考查方向：查一般式二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性、与坐标轴交点及图象位置判断。
（2）核心方法：先用a判断开口方向，再用x=−b2a求对称轴，顶点坐标为（−b2a,4ac−b24a），必要时通过配方化为顶点式分析性质。

【变式1】关于x的二次函数y=−2x2+8x−8，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向上B．对称轴为直线x=−2
C．当x≥2时，y随x的增大而增大D．图象与y轴交于点0,−8
【变式2】若A−3,y1，B−2,y2，C4,y3为二次函数y=x2−4x+c的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y10
【中考链接】如图，二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点A1,0，与y轴的交点C位于点0,−2和点0,−3之间，顶点为点P，对称轴为直线x=2．下列说法：①abc