人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法精品巩固练习

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.2 公式法精品巩固练习，共7页。试卷主要包含了根的判别式，公式法解一元二次方程的具体步骤，2x2+0，099)，等内容，欢迎下载使用。

知识点01
一元二次方程根的判别式
1.根的判别式
任何一元二次方程ax2+bx+c=0，均可用配方法可将方程化成 x+b2a2=b2−4ac4a2 。由配方法解方程可知，根据b2−4ac4a2与0的大小关系可以确定方程的根的情况。
式子b2−4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ=b2−4ac。
①若Δ=b2−4ac>0，则 方程有两个不相等的实数根 。
②若Δ=b2−4ac=0，则 方程有两个相等的实数根 。
③若Δ=b2−4ac0，
∴方程有两个不相等的实数根.
2．已知一元二次方程2x2−mx−m=0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0或−8B．0C．8D．无解
【答案】A
【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用判别式等于0列方程求解即可.
【详解】解：∵ 一元二次方程 2x2−mx−m=0 有两个相等的实数根，
∴ Δ=b2−4ac=0，
其中 a=2，b=−m，c=−m，代入得：
Δ=(−m)2−4×2×(−m)=0，
解得 m=0 或 m=−8.
3．关于x的一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k≥−1且k≠0B．k≥−1
C．k>−1且k≠0D．k>−1
【答案】A
【分析】根据kx2+2x−1=0是关于x的一元二次方程，可知k≠0，根据一元二次方程kx2+2x−1=0有实数根，可得不等式22−4k×−1≥0，解不等式求出k的取值范围即可．
【详解】解：∵kx2+2x−1=0是关于x的一元二次方程，
∴k≠0，
又∵kx2+2x−1=0有实数根，
∴Δ=b2−4ac=22−4k×−1≥0，
解得：k≥−1，
∴k的取值范围为k≥−1且k≠0．
知识点02
公式法解一元二次方程
1.求根公式
由x+b2a2=b2−4ac4a2可知， ±b2−4ac2a 。 −b±b2−4ac2a 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。
①Δ=b2−4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
即 −b+b2−4ac2a ； −b−b2−4ac2a。
②Δ=b2−4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 −b2a 。
③Δ=b2−4ac0，
∴x=−−12±1922×4=12±838=3±232．
故选：D．
6．用公式法解下列方程：
(1)32x2+4x−1=0；
(2)6x2−4=3x；
(3)3x2+6x−1=0．
【答案】(1)x1=−4+223，x2=−4−223
(2)x1=3+10512，x2=3−10512
(3)x1=−1+233,x2=−1−233
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可；
（3）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵a=32,b=4,c=−1，
∴ b2−4ac=42−4×32×(−1)=22>0，
代入求根公式，得x=−4±222×32=−4±223，
∴x1=−4+223，x2=−4−223；
（2）将方程化为一般形式，得6x2−3x−4=0，
∴ a=6,b=−3,c=−4，
∴b2−4ac=(−3)2−4×6×(−4)=105>0，
代入求根公式，得x=3±1052×6=3±10512，
∴x1=3+10512，x2=3−10512；
（3）∵a=3,b=6,c=−1，
∴b2−4ac=62−4×3×(−1)=48>0，
代入求根公式，得：x=−6±482×3=−3±233，
∴x1=−1+233,x2=−1−233．
题型01 由根的判别式判断方程根的情况
【典例1】关于一元二次方程−12x2−2x+2=0的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．只有一个实数根B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况．
【详解】解：对于一元二次方程 −12x2−2x+2=0
可得 a=−12，b=−2，c=2，
Δ=b2−4ac=−22−4×−12×2=4+4=8>0，
∴ 方程有两个不相等的实数根
（1）考查方向：用根的判别式来判断不含参数、含参数的一元二次方程组的根的情况。
（2）核心方法：计算根的判别式的值与0的大小关系；含参数计算判别式，分情况判断其符号。

【变式1】下列关于x的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（ ）
A．x2+1=0B．x2+2x+2=0
C．x2+2x+1=0D．x2+2x−1=0
【答案】D
【分析】对于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，当判别式Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果．
【详解】解：对选项A，∵a=1,b=0,c=1，∴Δ=02−4×1×1=−4−94，
故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意．
【变式2】关于x的一元二次方程x2−2x+m=0无实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m1
【答案】D
【分析】一元二次方程无实数根时，根的判别式Δ0，
∴m>1，
∴16B．m≤6且m≠3C．m≥6D．m0，
∴代入求根公式x=−b±Δ2a得x=1±178
∴x1=1+178，x2=1−178，即选项D符合题意．
（1）考查方向：求系数、求根公式求一元二次方程、公式法解方程、公式法应用。
（2）核心方法：围绕求根公式展开；公式法求根；公式法应用结合真实情境进行判断和求解。

【变式1】用公式法解方程2t2=6t+3时，a，b，c的值分别为（ ）
A．2，6，3B．2，−6，−3C．−2，6，−3D．2，6，−3
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，公式法解一元二次方程，首先要把方程化成一般形式，其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：∵原方程2t2=6t+3，
移项得2t2−6t−3=0，
∴a=2，b=−6，c=−3．
故选：B．
【变式2】某一元二次方程的根用求根公式表示为x=−−2±−22−4×3×−12×3，则该一元二次方程为（ ）
A．−2x2+3x−1=0B．3x2−2x−1=0
C．2x2−3x+1=0D．3x2−2x+1=0
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的求根公式为x=−b±b2−4ac2a，据此根据题意确定a、b、c的值即可得到答案．
【详解】解：由题意得，a=3，b=−2，c=−1，
∴该一元二次方程为3x2−2x−1=0，
故选：B．
【变式3】小颖根据频闪相机记录的训练视频，发现某次训练中羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线，羽毛球行进的高度ym与水平距离xm之间满足的关系为y=−0.2x2+0.8x+1，若羽毛球行进的高度为0.5m，则羽毛球飞出的水平距离为（ ）
A．4−26mB．4+26mC．4−262mD．4+262m
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的实际应用与一元二次方程的求解，解题的关键是将函数值代入解析式，解一元二次方程并结合实际意义取舍．
将高度y=0.5代入抛物线解析式，得到一元二次方程，求解后根据水平距离的实际意义排除负值，得到结果．
【详解】解：已知羽毛球行进的高度y与水平距离x的关系为y=−0.2x2+0.8x+1，
当y=0.5时，代入得−0.2x2+0.8x+1=0.5，
整理得2x2−8x−5=0，
解得：x=8±64+404=8±2264=4±262，
因为水平距离x≥0，而4−2620，
∴方程有两个不等的实数根，
x=−b±b2−4ac2a=5±12×3=5±16，
即x1=1，x2=23．
【变式6】a为实数，关于x的方程为2a+2x2−3a−3x−2a+4=0．
(1)求证：原方程一定有实数根．
(2)若原方程的根包含自然数，试求满足条件的自然数a的值．
【答案】(1)见解析
(2)a的值为2，或5
【分析】小问（1）需分二次项系数2a+2是否为0两种情况讨论．当2a+2=0时，方程为一次方程，有实数根；当2a+2≠0时，计算并证明判别式Δ≥0．
小问（2）先求出方程的根，因为根为自然数，再通过此来限制即可得出a的值．
【详解】（1）证明：当2a+2=0时，a=−1．
此时原方程为12x+6=0．有实数根x=−12．
当2a+2≠0时，Δ=9a−32+42a+22a−4
=9a2−6a+9+44a2−4a−8
=9a2−54a+81+16a2−16a−32
=25a2−70a+49
=5a−72≥0，
∴原方程有两个实数根，
综上，原方程一定有实数根．
（2）解：由（1），原方程的根x=3a−3±5a−722a+2．
则x1=3a−9+5a−74a+1=8a−164a+1=2a−4a+1，
x2=3a−9−5a+74a+1=−2a−24a+1=−12．
由x1=2a−4a+1=2a+2−6a+1=2−6a+1，知a+1是6的因数．
∵ a≥0，
∴ a+1≥1．
当a+1=1，即a=0时，x1=2−6=−4（舍）．
当a+1=2，即a=1时，x1=2−3=−1（舍）．
当a+1=3，即a=2时，x1=2−2=0．
当a+1=6，即a=5时，x1=2−1=1．
综上，a的值为2或5．
【中考链接1】若x=3是关于x的一元二次方程x2−53ax−a2=0a>0的一个根，下面对a的值估计正确的是（ ）
A．12