初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.1 配方法优秀精练

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.1 配方法优秀精练，共7页。试卷主要包含了降次——解一元二次方程，25，5=±1等内容，欢迎下载使用。

知识点01
直接开方法解一元二次方程
1.降次——解一元二次方程
解一元二次方程也是把它逐步转化为“x=m”的形式。与一元一次方程不同，一元二次方程是二次的，因此解一元二次方程需要“降次”，即把二次方程转化为一次方程。
2.直接开方法求x2=p的一元二次方程
由平方根的意义可知：
①p>0时，一元二次方程x2=p有 2 个 不相等 的实数根，分别是x1=p或x2=−p。他们互为 相反数 。
②当p=0时，一元二次方程x2=p有 2 个 相等 的实数根，即 x1=x2=0 。
③当p0时，一元二次方程(ax+b)2=p有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程ax+b=p或ax+b=−p。所以它的两个实数根分别是 x1=p−ba 或 x2=−p−ba 。
②当p=0时，一元二次方程(ax+b)2=p有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程ax+b=0，所以一元二次方程的两个实数根为 x1=x2=−ba 。
③当p0)的两个根分别是m+1与2m−4，则ab=________．
【答案】14/0.25
【分析】根据直接开平方法解方程的两个根互为相反数，得到m+1+2m−4=0，求得方程的根，利用根的定义，确定a，b的关系，计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程ax2=b(ab>0)
∴x2=ba(ba>0)，
∴x1=ba,x2=−ba，
∴方程的两个根互为相反数，
∵一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m−4，
∴m+1+2m−4=0，
解得m=1，
∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与−2，
∴b=4a
∴ab=a4a=14，
故答案为：14．
知识点02
配方法解一元二次方程
1.配方法的定义
通过配成 完全平方式 来解一元二次方程的方法，叫作配方法。即将一元二次方程化成(x+n)²=p的形式，再利用直接开方法解一元二次方程的方法。
2.配方法解一元二次方程的具体步骤
①移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数。
②化1:方程的两边同除以 二次项系数 ,把二次项系数化为1。
③配方:在方程的两边同时加上 一次项系数一半的平方 ,化成(x+n)²=p的形式。
④开方:若p≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若p0，则k为二次三项式的 最小值 ；若a0恒成立）。
【即学即练】
6．对于代数式−3x2−6x+1，当x=__________时，代数式有最__________（填“大”或“小”）值，其值为__________．
【答案】 −1 大 4
【分析】本题考查代数式的运算，配方法的应用，灵活运用完全平方公式是解题的关键．把−3x2−6x+1化为 −3x+12+4，由平方的非负性得，3x+12≥0，从而−3x+12≤0，由不等式性质，不等式两边同时加或减一个数，不等号不变，即−3x+12+4≤4，即可得出答案．
【详解】解：−3x2−6x+1=−3x2+2x+1=−3x2+2x+1−1+1=−3x+12+4，
∵3x+12≥0，
∴−3x+12≤0，
∴−3x+12+4≤4，
∴ 当x=−1时，−3x2−6x+1有最大值为4．
故答案为：−1；大；4．
7．已知P=4m−3，Q=4m2−1（m为任意实数），则P，Q的大小关系为（ ）
A．P>QB．P≤QC．P0，
∴Q−P>0，∴P0，原式=t2−t =t−122−14，
∵ t−122≥0 ，
∴ t−122−14≥−14，当t=12时，原式取得最小值−14，
即c2−a2b2的最小值为−14．
17．用配方法解方程：
(1)x2−42x−2=0．
(2)3x2−5x−1=0．
【答案】(1)x1=22+10，x2=22−10
(2)x1=5+376，x2=5−376
【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为x+m2=n的形式，再用直接开平方的方法解方程．
【详解】（1）解：x2−42x−2=0
x2−42x=2
x2−42x+8=10
x−222=10
∴x−22=±10，
∴x1=22+10，x2=22−10；
（2）解：3x2−5x−1=0
x2−53x=13
x2−53x+2536=13+2536
x−562=3736
∴x−56=±376，
∴x1=5+376，x2=5−376．
18．数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=−2a2+4a，N=−2a2−2a+2．
(1)比较M,N的大小；
(2)若P+2N=M−5，证明：P不可能小于0．
【答案】(1)M>N
(2)见解析
【分析】（1）通过计算并判断M−N的正负性，即可比较M,N的大小；
（2）利用整式的加减运算法则表示出P，再利用配方法整理得P=2a−12+1，最后利用非负数的性质即可证明．
【详解】（1）解：N=−2a2−2a+2=−2a2+4a−4，
∴M−N
=−2a2+4a−−2a2+4a−4
=−2a2+4a+2a2−4a+4
=4>0，
∴M>N；
（2）证明：∵P+2N=M−5，
∴P=M−5−2N
=−2a2+4a−5−2−2a2+4a−4
=−2a2+4a−5+4a2−8a+8
=2a2−4a+3
=2a2−4a+2+1
=2a2−2a+1+1
=2a−12+1，
∵a−12≥0，
∴2a−12+1≥1，
即P≥1，
∴P不可能小于0．
C组·拓展延伸
19．定义新运算：a⊗b=a2−ba≤0−a+ba>0，例如：−2⊗4=(−2)2−4=0，2⊗3=−2+3=1．若x⊗1=−34，则x的值为（ ）
A．±12B．12或74C．−12D．−12或74
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．
根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵a⊗b=a2−b,a≤0−a+b,a>0
而x⊗1=−34，
∴①当x≤0时，则有x2−1=−34，
解得，x=−12；
②当x>0时，−x+1=−34，
解得，x=74，
综上所述，x的值是−12或74．
故选：D．
20．我们可以用几何的方法求一元二次方程的解．例如求方程x2+4x=32的解时，如图，先画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=2，AC=3，在斜边AB上截取BD=2，则下列线段可以表示方程x2+4x=32的一个解的是（）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
【答案】A
【分析】先利用配方法解一元二次方程求出正数解，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB的长，结合BD=2求出AD的长，对比即可得出结论．
【详解】解：配方得(x+2)2=13，
解得x1=−2+13，x2=−2−13，
∵线段长度必须为正数，
∴该方程符合几何意义的解为x=13−2，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
BC=2，AC=3，
由勾股定理得AB=AC2+BC2=32+22=13，
∵在斜边AB上截取BD=2，
∴AD=AB−BD=13−2．
∴线段AD的长表示方程的一个解．
21．已知整式M:a0+a1x+a2x2+⋯+anxn，其中a0为自然数， n，a1，a2，…，an为正整数，且a0+a1+⋯+an=4．下列说法：
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式；
②当n=3时，满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1；
③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对a0进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键．
【详解】解：当n=1时，a0+a1=4，
当a0=0，a1=4时，整式M为4x，
当a0>0时，整式M不可能为单项式，
当n>1时，
∵a1，a2，…，an为正整数，
∴整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确；
当n=3时，a0+a1+a2+a3=4，
当a0=0时，a1+a2+a3=4，
则a1,a2,a3中有一个可能为2，故会有三种情况，对应的整式M为x+x2+2x3，x+2x2+x3，,2x+x2+x3，
当a0=1时，a1+a2+a3=3，
则a1=a2=a3=1故会有一种情况，对应的整式M为1+x+x2+x3，
当a0>1时，a1+a2+a30，1+2x+x2=x+12≥0，
∴ 1+x+2x2,1+2x+x2两种都满足条件，
当a0=2时，a1+a2=2，
则有2+x+x2一种，
∵2+x+x2=x+122+74>0，
∴ 2+x+x2满足条件，
当a0>2时，a1+a2