25.1一元二次方程的概念（3知识点+8大题型+针对训练）【暑假自学课】2026-2027年九年级数学上册讲义（人教版）含答案

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2.掌握一元二次方程“根”的概念，能够根据方程根的定义解决相关的代数求值问题。
洞悉◆教材知识
知识点1一元二次方程的概念
1.一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）
的方程，叫做一元二次方程.
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程.
知识点2一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项.
2.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
知识点3 一元二次方程的解( 根)
3.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．
核心题型◆归纳
题型解析◆精准备考
【题型1】一元二次方程的定义
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：
A. ，不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，符合题意；
C. ，不是一个未知数，不符合题意；
D. ，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
【题型2】一元二次方程的一般形式
3．已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，形如，且a，b，c为常数，分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解．
【详解】解：一元二次方程，则它的一次项系数为，
故选：B．
4．方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【详解】解：，
，即，
∴，
∴方程化为一元二次方程的一般形式是．
故选：A．
【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值
5．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
6．若方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
【题型4】一元二次方程的解
7．下列各数中，哪个是方程的解（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断．
【详解】解：A．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
B．当时，
左边，右边，左边＝右边，
∴是方程的解，故此选项符合题意；
C．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
D．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意．
故选：B．
8．下列哪些数是一元二次方程的根？
．
【答案】1和3
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可．
【详解】解：当时，左边12．
左边右边，
不是一元二次方程的根．
当时，左边，
∵左边右边，
不是一元二次方程的根．
当时，左边．
左边=右边，
是一元二次方程的根．
当时，左边．
左边右边，
不是一元二次方程的根．
当时，左边．
左边=右边，
是一元二次方程的根．
综上可知，1和3是一元一次方程的根．
【题型5】一元二次方程的解的估算
9．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下：
请判断其中一个解x的大致范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，；
时，，
故一元二次方程的一个解x的范围是．
故选：B．
10．观察下面的表格：
判断方程的其中一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可以发现的值和最接近，再看对应的的值即可得．
【详解】解：由表格可知，当时，；当时，；
当时，，
故选：B．
【题型6】由一元二次方程的解求字母的值
11．若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题关键是将已知根代入方程，构建关于m的一元一次方程并求解．
根据方程根的定义，将代入方程得到关于m的方程，再求解该方程即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴把代入方程，得到，
．
解得．
故选：A．
12．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．
将代入原方程即可求解．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：．
故答案为：．
【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值
13．已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2031
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴
，
故答案为：2031．
14．已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可．
【详解】解：将代入，
得，即，
∵，
∴，
故答案为：1．
【题型8】由实际问题列一元二次方程
15．临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可．
【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，
根据题意可得出，
故选：B
16．在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答．
【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，
根据题意，得；，
故选：B．
针对训练
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意；
C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意；
D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意．
2．如果一元二次方程有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】且
【分析】根据一元二次方程的定义，可得二次项系数不为0，再结合方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，求解两个不等式即可得到的取值范围．
【详解】解：方程是一元二次方程，
．
方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
综上可得，实数的取值范围是且．
3．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题：
(1)一元二次方程的“倒方程”是______；
(2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值；
(3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为_____．
【答案】(1)
(2)
(3)2025
【分析】（1）根据新定义的含义可得答案；
（2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值；
（3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：；
（2）解：由题知，方程的倒方程为，
将代入此方程得，，
解得；
（3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是，
∵m是此方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴．
4．若实数，满足，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】由题意可得,是一元二次方程的两个不相等实数根，利用多项式对应系数相等得到的值，再结合满足方程变形，计算的值判断正负，即可得到结果.
【详解】解：∵ ，且，，
∴ 是方程的两个不相等的实数根，
∴ ， 对比系数得 ，
又∵ ，
∴ ，
则，
把代入得 ，
∴ ，.
5．一元二次方程 的两根为，则 的值为______．
【答案】
【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到及的值，代入所求代数式计算即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，
∴，，
∴，
∴．
6．解方程：解一元二次方程时，小江同学的解法如表所示：
(1)你认为是原方程的解吗？请检验（写出检验过程）；
(2)请选择合适的方法解原方程．
【答案】(1)不是原方程的解；
(2)，．
【分析】（）根据方程解的定义，将代入原方程，比较左右两边的值是否相等即可判断；
（）先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：将代入得，左边，右边，
∵左边右边，
∴不是原方程的解；
（2）解：，
，
或，
∴，．
7．若关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】一元二次方程有实数根需满足两个条件：一是二次项系数不为0，二是方程有实数根时判别式，据此求出的取值范围，再判断选项即可．
【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程，
∴ ，即，
又∵ 方程有实数根，
∴ 判别式，
∵，
∴ ，解得，
综上，的取值范围是且，
选项A：，故该选项不符合题意；
选项B：，故该选项不符合题意；
选项C：，满足条件，故该选项符合题意；
选项D：，不满足，故该选项不符合题意．
8．关于x的方程是一元二次方程，则m为__________．
【答案】
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴．
9．已知方程．
(1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项；
(2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值．
【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程定义得到，求出m的值，即可解答；
（2）根据一元一次方程的定义得到或，求解即可．
【详解】（1）解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，解得，
∴方程为，方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11．
（2）解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴或，
∴或．
10．已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（ ）
A．①正确，②正确B．①不正确，②正确
C．①正确，②不正确D．①不正确，②不正确
【答案】A
【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②．
【详解】解：∵方程 的两根为，，，
∴方程 的两根为，，，
∴，
，
∴，因此①正确；
∵，
∴，
∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确；
综上，①正确，②正确．
11．已知，是方程的两个根，则_______．
【答案】12
【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：因为，是方程的两个根，
将代入方程得，
整理得 ．
将代入方程得 ，整理得．
将，代入所求代数式
得：
．
12．请阅读下列材料：已知一个关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值．
晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，．故，．
请运用上述方法解决下列问题：
(1)已知关于的方程，其中、均为整数，且有一个根为，求、的值．
(2)已知，求代数式的值．
【答案】(1)，
(2)2028
【分析】（1）仿照题干所给的方法计算即可得出结果；
（2）求出，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果．
【详解】（1）解：，
，
，
，即
两边同时乘以得．
，；
（2）解：，
，
，
，
即，
．
【题型1】一元二次方程的定义
【题型2】一元二次方程的一般形式
【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值
【题型4】一元二次方程的解
【题型5】一元二次方程的解的估算
【题型6】由一元二次方程的解求字母的值
【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值
【题型8】由实际问题列一元二次方程
针对训练
x
小江同学：
解：，
所以或，
所以，．