初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数学案设计，共12页。
专题02 有理数、数轴
题型01 有理数的认识
学以致用
【例1】 （2026•公主岭市二模）下列各数：﹣1，π3，4.112134，0，227，3.14，其中有理数有（ ）个．
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】本题考查有理数的定义．有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可．
【解答】解：根据题意可知只有π3是无理数，﹣1，4.112134，0，227，3.14都是有理数，共有5个．
故选：D．
【例2】 （2026春•南宁校级月考）在﹣2，3.14，227，π2，80%，0.101001000…中，有理数的个数是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
【解答】解：﹣2是整数，3.14，227，80%是分数，它们都是有理数，共4个，
故选：B．
【例3】 （2025秋•南部县期末）在﹣π，0，﹣2，0.1010010001…，3.14%，227中有理数的个数有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】C
【分析】有理数是分数和整数的统称，据此可得答案．
【解答】解：由题意可得：
有理数有0，−2，3.14%，227，共4个，
故选：C．
题型02 有理数的分类
学以致用
【例4】 （2026•茂名一模）下列四个数中，是负整数的是（ ）
A．−12B．0C．﹣3D．7
【答案】C
【分析】根据有理数中负整数的定义即可求解．
【解答】解：A．−12是负分数，不符合题意；
B．0既不是正数也不是负数，不符合题意；
C．﹣3是负整数，符合题意；
D．7是正整数，不符合题意，
故选：C．
【例5】 （2026•南昌一模）下列各数中，是正有理数的是（ ）
A．πB．3C．0D．﹣1
【答案】B
【分析】先根据有理数和无理数的有关定义，对各个选项的数进行判断即可．
【解答】解：∵π是无理数，3是正有理数，0既不是正数，也不是负数，﹣1是负数，
∴A，C，D选项不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
【例6】 （2025秋•锦江区校级期末）下列各数中，既是负数又是整数的是（ ）
A．0B．﹣8C．0.1D．12
【答案】B
【分析】需先明确负数（小于0的数）和整数（正整数、0、负整数的统称）的定义，再结合选项逐一判断即可得出结果．
【解答】解：∵负数是小于0的数，整数包括正整数、0、负整数，
∴对各选项分析如下：
A选项，0是整数，但不是负数；
B选项，﹣8＜0，是负数，同时﹣8是负整数；
C选项，0.1是正数且是小数；
D选项，12是正数且是分数；
∴既是负数又是整数的是﹣8，
故选：B．
题型03 数轴的画法
学以致用
【例7】 （2025秋•海伦市期末）下列数轴画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】考查数轴定义中的三要素：原点、正方向、单位长度．
【解答】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意；
B、没有单位长度，故B选项不符合题意；
C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意；
D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意．
故选：C．
【例8】 （2025秋•青羊区校级期末）下列四个数轴的画法中，规范的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】应用数轴三要素，原点，正方向，单位长度进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．因为A选项中所画数轴单位长度不一致，故A选项不符合题意；
B．因为B选项中所画数轴没有原点，故B选项不符合题意；
C．因为C选项中所画数轴规范，故C选项符合题意；
D．因为D选项中所画数轴没有正方向，故D选项不符合题意．
故选：C．
【例9】 （2025秋•迪庆州校级期末）下列关于数轴的图示，画法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、单位长度不统一，故选项错误；
B、正方向不符合习惯，故本选项错误；
C、没有正方向，故本选项错误；
D、画法正确，故本选项正确．
故选：D．
题型04 在数轴上表示数
学以致用
【例10】 （2026•碑林区校级模拟）如图，数轴上AB两点之间的距离为6，A表示的数是3，则点B表示的数是（ ）
A．﹣6B．﹣5C．﹣4D．﹣3
【答案】D
【分析】由两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：点B表示的数是3﹣6＝﹣3．
故选：D．
【例11】 （2026•孝感模拟）如图，数轴上表示﹣3的点是（ ）
A．MB．NC．OD．P
【答案】A
【分析】根据数轴的特点进行判断即可．
【解答】解：数轴上表示﹣3的点是M．
故选：A．
【例12】 （2021秋•饶平县校级同步）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．
﹣3，212，﹣1.5，0，+3.5，4
【答案】见解答．
【分析】根据正数在原点右边，负数在原点左边即得．
【解答】解：如图：

题型05 数轴的应用
学以致用
【例13】 （2026•云浮二模）数轴上的点A表示﹣2，将点A向左平移2个单位后得到点B，那么点B表示的数为（ ）
A．﹣4B．﹣1C．0D．1
【答案】A
【分析】根据数轴规定向右为正方向，则向右平移，数值变大；向左平移，数值变小．
【解答】解：数轴上的点A表示﹣2，将点A向左平移2个单位后得到点B，那么点B表示的数为﹣2﹣2＝﹣4．
故选：A．
【例14】 （2026•栾城区校级模拟）如图，某同学用直尺画数轴，数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，若点A对应﹣2，直尺的0刻度位置对应﹣4，则点B对应的数为（ ）
A．6B．7C．12D．14
【答案】D
【分析】根据题意结合数轴得出直尺上1cm代表数轴上2个单位长度，然后求出线段AB的中点对应直尺的5cm处，再得出线段AB的中点对应的数即可．
【解答】解：∵直尺的0刻度位置对应﹣4，数轴上点A在直尺的1cm处且点A对应﹣2，
∴直尺上1cm代表数轴上2个单位长度，
∵数轴上点A，B分别在直尺的1cm，9cm处，
∴点B对应的数为：7×2＝14．
故选：D．
【例15】 （2026•太原模拟）点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与﹣3到原点的距离相等的点是（ ）
A．MB．NC．PD．Q
【答案】C
【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可．
【解答】解：点P到原点的距离为3，
∴﹣3到原点的距离为3．
∴到原点的距离与﹣3到原点的距离相等的点是点P．
故选：C．
1．理解有理数的概念．
2．会对有理数按一定的标准进行分类，体会分类讨论的思想方法．
3．理解数轴的概念，掌握数轴的画法，能用数轴上的点表示有理数，体会数形结合的思想方法．
1．有理数的概念
（1）整数：正整数、0、负整数统称为整数．
（2）分数：正分数、负分数统称为分数．
（3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数．
（4）部分常用的数
正整数：大于0的整数．
负整数：小于0的整数．
正有理数：可写成（，是正整数）的形式的数．
负有理数：可写成（，是正整数）的形式的数．
非负数：正数和0．
非负整数：正整数和0．
2．有理数的分类
3．数轴
（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．
原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴．
（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．
（3）数轴的画法：
①画一条水平的直线．
②在直线上适当选取一点为原点．
③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）．
④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示：
4．数轴上的点与有理数的关系
有理数可以用数轴上的点表示．一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是a个单位长度；表示数－a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度．
（1）事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数．
（2）正整数可以写成正分数的形式，例如；
负整数可以写成负分数的形式，例如；
0也可以写成分数的形式．
这样，整数可以写成分数的形式．
（3）可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数．
1．有理数的分类
（1）引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数范围．0既不是正数，也不是负数．
所以，有理数可以分为正有理数，0，负有理数．
（2）在习惯上我们将正有理数和零称为非负有理数，将负有理数和零称为非正有理数，将正整数和零称为非负整数（即自然数），将负整数和零称为非正整数．
（3）所有正有理数组成正有理数集合，所有负有理数组成负有理数集合．
所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合．
2．小数与有理数的关系
1．数轴的三要素
原点、正方向和单位长度，称为数轴的三要素．在解决问题时，可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能再改变．（如不能在同一道题中，第（1）小题选向西为正方向，第（2）小题又选向东为正方向．）
2．长度单位和单位长度的区别
（1）长度单位：长度单位是用于测量的标准单位，如米（m）、厘米（cm）等．
（2）单位长度：单位长度是一个相对长度，通常用于数轴上表示点之间的距离．例如，在数轴上，可以定义1个单位长度代表1 cm或0．6 cm或其他任意指定的长度．
3．画数轴时常见错误
（1）漏画原点；
（2）没有标出正方向；
（3）没有标出单位长度或单位长度不统一；
（4）标数时顺序错误；
（5）画成射线．
（1）在小学，我们曾经在有刻度的直线上表示出0和正数，并借助这种图形来直观理解和分析问题，下面我们在此基础上直观表示有理数．
（2）在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件：
①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示–1，–2，–3，…
像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴．
原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴．
数轴上的点与有理数的关系
任意一个有理数，都可以用数轴上唯一的一个点来表示．
有理数对应数轴上的一部分点，即数轴上还有一部分点不表示有理数，如π，不是有理数，也可以用数轴上的点来表示．