数学人教版（2024）有理数的乘法与除法学案

这是一份数学人教版（2024）有理数的乘法与除法学案，共12页。
专题05 有理数的乘法与除法
题型01 求一个数的倒数
学以致用
【例1】 （2026•莱芜区模拟）−13的倒数是（ ）
A．﹣3B．3C．13D．−13
【答案】A
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：−13的倒数是﹣3．
故选：A．
【例2】 （2026•永川区自主招生）5的倒数是（ ）
A．5B．﹣5C．15D．−15
【答案】C
【分析】运用实数a的倒数是1a（a≠0）进行求解、辨别．
【解答】解：由题意得，5的倒数是15，
故选：C．
【例3】 （2026•安徽模拟）﹣2026的倒数是（ ）
A．﹣2026B．2026C．−12026D．12026
【答案】C
【分析】利用倒数的定义求解即可．
【解答】解：﹣2026的倒数是−12026．
故选：C．
题型02 有理数的乘法
学以致用
【例4】 （2026•和平区模拟）计算（﹣4）×（﹣3）的结果等于（ ）
A．﹣12B．﹣7C．7D．12
【答案】D
【分析】依据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式＝4×3＝12．
故选：D．
【例5】 （2026•天津模拟）计算（﹣6）×2的结果等于（ ）
A．﹣12B．﹣4C．12D．9
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝﹣12．
故选：A．
【例6】 （2026•天津二模）计算−2×12的结果等于（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【答案】D
【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：根据有理数的乘法法则−2×12=−(2×12)=−1．
故选：D．
题型03 有理数的除法
学以致用
【例7】 （2026•红桥区三模）计算2÷(−12)的结果等于（ ）
A．﹣4B．4C．﹣1D．1
【答案】A
【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可．
【解答】解：2÷(−12)=−4．
故选：A．
【例8】 （2026•和平区三模）计算(−2)÷(−12)的结果等于（ ）
A．1B．4C．﹣1D．﹣4
【答案】B
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，由此计算即可．
【解答】解：(−2)÷(−12)=2÷12=2×2＝4，
故选：B．
【例9】 （2025秋•芜湖期末）57的倒数除以5的倒数，商是（ ）
A．725B．17C．5D．7
【答案】D
【分析】先根据倒数的定义得出57的倒数是75，5的倒数是15，然后根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：57的倒数是75，5的倒数是15，
根据题意得，75÷15=75×5=7，
故选：D．
题型04 乘法运算律
学以致用
【例10】 （2025秋•天元区校级期末）下列计算错误的是（ ）
A．（﹣2）﹣（﹣5）＝+3
B．（−15+17）×（﹣35）＝（﹣35）×（−15）+（﹣35）×17
C．（﹣2）×（﹣3）＝+6
D．18÷（12−13）＝18÷12−18÷13
【答案】D
【分析】利用有理数的减法法则判断A；利用乘法分配律判断B；利用有理数的乘法法则判断C；根据混合运算的法则计算后判断D．
【解答】解：A、（﹣2）﹣（﹣5）＝﹣2+5＝+3，计算正确；
B、（−15+17）×（﹣35）＝（﹣35）×（−15）+（﹣35）×17，计算正确；
C、（﹣2）×（﹣3）＝+6，计算正确；
D、因为18÷（12−13）＝18÷16=108，18÷12−18÷13=36﹣54＝﹣18，
所以18÷（12−13）＝18÷12−18÷13，计算错误．
故选：D．
【例11】 （2025秋•唐山期中）运用运算律计算99×98，变形正确的是（ ）
A．100×99﹣98B．100×99﹣99C．100×98﹣99D．100×98﹣98
【答案】D
【分析】将99拆分为100﹣1，利用乘法分配律进行变形计算．
【解答】解：99×98
＝（100﹣1）×98
＝100×98﹣98．
故选：D．
【例12】 （2024秋•同步）在下列算式每一步后面填上这一步应用的运算律：
[（8×4）×125+5]×25
＝[（4×8）×125+5]×25（ 乘法交换律 ）
＝[4×（8×125）+5]×25 （ 乘法结合律 ）
＝4000×25+5×25（ 乘法分配律 ）
【答案】乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律．
【分析】根据有理数的相应的运算法则进行分析即可．
【解答】解：[（8×4）×125+5]×25
＝[（4×8）×125+5]×25（乘法交换律），
＝[4×（8×125）+5]×25 （乘法结合律）
＝4000×25+5×25（乘法分配律）
故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律．
题型05 有理数乘除混合运算
学以致用
【例13】 （2025秋•河西区校级月考）（﹣21）÷（﹣3）×2＝ 14 ．
【答案】14．
【分析】运用有理数的乘法和除法法则计算即可．
【解答】解：（﹣21）÷（﹣3）×2＝7×2＝14，
故答案为：14．
【例14】 （2024秋•衡阳县期末）计算32÷(−4)×14的结果是 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【分析】先将除法转化为乘法，再进行计算即可求解．
【解答】解：32÷(−4)×14=32×(−14)×14=−2．
故答案为：﹣2
【例15】 （2024春•南岗区校级期中）计算：(−2)÷14×4= ﹣32 ．
【答案】﹣32．
【分析】根据有理数乘除法按从左到右的顺序计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣2）×4×4＝﹣32，
故答案为：﹣32．
1．理解有理数乘法、除法法则，理解有理数乘法、除法法则的合理性．
2．能利用乘法、除法法则正确进行有理数乘法、除法运算．
3．理解有理数倒数的意义，会求一个有理数的倒数．
4．掌握有理数除法的运算法则，能准确运用符号法则和运算法则进行计算理解零不能作为除数的数学意义．
1．有理数的乘法
（1）有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积．
任何数与0相乘，都得0．
（2）倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数．
注意：
①0没有倒数；
②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；（即求一个数的倒数，不改变这个数的符号）
④倒数等于它本身的数有两个，分别是1和–1，注意不包括0．
（3）有理数乘法的运算律：
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即ab=ba．
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）．
分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+bc．
（4）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
（5）几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
2．有理数的除法
（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即（b≠0）．
（2）从有理数除法法则，容易得出：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
3．有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算，如无括号，则与小学所学的混合运算一样，按照“先乘除，后加减”的顺序进行．
1．倒数
（1）倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数．
（2）判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”．
（3）1的倒数是它本身，因为1×1=1．
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母．
（4）任意数a（a≠0），它的倒数为．
（5）真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身；
假分数的倒数小于或等于1；带分数的倒数小于1．
2．求倒数的方法：
（1）求分数的倒数：交换分子、分母的位置．
（2）求整数的倒数：整数分之1．
（3）求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数．
（4）求小数的倒数：先化成分数再求倒数．
3．倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在，单独一个数不能称为倒数．必须说清谁是谁的倒数．
两数相乘，先根据有理数乘法的符号法则判断符号，再把绝对值相乘即可得到结果．
有理数的乘法法则也可以表示如下：
（+a）×（+b）=a×b，
（－a）×（－b）=a×b，
（－a）×（+b）=－（a×b），
（+a）×（－b）=－（a×b），
c×0=0，0×c=0．
1．0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2．在进行除法运算时，若能整除，则根据“两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除”进行计算；若不能整除，则根据“除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数”进行计算；除法算式中的小数常化成分数，带分数常化成假分数，以利于转化为乘法时约分；0不能作除数（即分母）．
乘法交换律：有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．表达式：ab=ba．
乘法结合律：三个数相乘，先把其中的两个数相乘，积相等．表达式：（ab）c=a（bc）．
分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
表达式：a（b+c）=ab+ac．
有理数的乘除混合运算
（1）因为乘法与除法是同一级运算，应按从左到右的顺序运算．
（2）结果的符号由算式中负因数的个数决定，负因数的个数是偶数时结果为正，负因数个数是奇数时结果为负．
（3）化成乘法后，应先约分再相乘．
（4）有理数的乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果．