初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形精品当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形精品当堂检测题

知识点01 等腰三角形的概念及其性质
等腰三角形的概念：
有两条边 的三角形是等腰三角形。相等的两边叫做等腰三角形的 ，所对的角叫做等腰三角形的 ，另一边是三角形的底，所对的角是等腰三角形的 。
等腰三角形的性质：如图
①等腰三角形的两腰 。即AB AC。由面积可得等腰三角形两腰上的底相等。
②等腰三角形的两个底角 。即∠B ∠C。【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互 。【简称底边上三线合一】即∠ABD ∠CAD，BD CD，AD BC。
【即学即练1】
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝3，则BC的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【即学即练2】
2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（ ）
A．8cmB．10cmC．11cmD．8cm或10cm
【即学即练3】
3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠DEC等于（ ）
A．90°B．95°C．100°D．110°
【即学即练4】
4．已知等腰三角形的一内角度数为40°，则它的顶角的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100°D．40°或100°
【即学即练5】
5．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60度，则该三角形的底角是（ ）度．
A．120B．30C．15或75D．30或120
【即学即练5】
6．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形ABC的腰长为5，面积为12，则OE+OF的值为（ ）
A．4B．245C．15D．8
知识点02 等腰三角形的判定
定义判定：
由两边相等的三角形是等腰三角形。
利用等角对等边判定：
一个三角形中如有两个角 ，则这两个角所对的两条边也 。（等角对等边）则这个三角形是等边三角形。
数学语言：如图：∵∠B＝∠C
∴AB＝AC
∴△ABC是等腰三角形
利用三线合一性质判定：
若三角形有一边上的中线、高线以及它对角的角平分线 ，则这个三角形是等腰三角形。
数学语言：如图：∵AD⊥BC且BD＝BC（三线表达其二即可）
∴△ABC是等腰三角形
【即学即练1】
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC交∠ACB的平分线于点D，连接BD．求证：△ABD为等腰三角形．
【即学即练2】
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED，CA，交于点F．求证：△ADF是等腰三角形．
题型01 利用等腰三角形的性质求线段
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，BD＝4，则BC＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【变式1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝3，将△ABC沿BC向右平移2个单位得到△DEF，连接AD，则阴影部分的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．12
【变式2】如图，已知△ABC的面积为28，AB＝AC＝16，点D为BC边上一点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若DF＝2DE，则DF长为（ ）
A．73B．76C．163D．6
【变式3】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝110°，延长BC到D，在∠ACD内作射线CE，使得∠ECD＝15°．过点A作AF⊥CE，垂足为F．若AF=5，则AB的长为（ ）
A．10B．25C．4D．6
题型02 利用等腰三角形的性质求角
【典例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，且BD＝BE，若∠ADE＝15°，则∠C＝（ ）
A．35°B．30°C．20°D．45°
【变式1】如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC＝2∠A，BD＝BC，∠DCA的度数是（ ）
A．18°B．36°C．54°D．72°
【变式2】“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝69°，则∠CDE的度数是（ ）
A．60°B．69°C．76°D．88°
【变式3】如图，在△ABC中，点M，N为AC边上的两点，AM＝NM，BM⊥AC，ND⊥BC于点D，且NM＝ND，若∠A＝α，则∠C＝（ ）
A．32αB．90°−12αC．120°﹣αD．2α﹣90°
题型03 三角形的三边关系与等腰三角形
【典例1】已知一个等腰三角形的两边长分别是3和4，则该等腰三角形的周长为（ ）
A．10B．11C．10或11D．10或12
【变式1】等腰三角形的两条边长分别为3cm，7cm，则等腰三角形的周长为（ ）
A．13cm或17cmB．17cm
C．13cmD．10cm
【变式2】等腰三角形的两条边长分别是x、y，且3x+y=112x−y=4，求这个等腰三角形的周长 8或7 ．
【变式3】已知等腰三角形的两边长分别为a，b，且a，b满足a−3+|b﹣4|＝0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．7B．10C．11D．10或11
题型04 等腰三角形的判定
【典例1】下列能断定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A．∠A＝40°，∠B＝70°B．AB＝AC＝3，BC＝7
C．∠A＝20°，∠B＝70°D．AB＝1，BC＝4，周长为6
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，线段AB经过原点，且OA＝3，OB＝1，点P在y轴上，若以P，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的P点有（ ）个．
A．4B．5C．6D．7
【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC，垂足为E，且AB＝CE，连接AD．求证：△ACD为等腰三角形．
【变式3】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AC于点E．求证：△AEF是等腰三角形．
【变式4】如图，在△ABC中，CA＝CB，点D在BC的延长线上，连接AD，AE平分∠CAD交CD于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，与AC相交于点G．
（1）求证：△CEG为等腰三角形；
（2）求证：∠AEF=12∠D．
【变式5】如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，过B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于点E．
（1）求证：△ABE为等腰三角形；
（2）已知BD＝2，AB＝3，求AC的长．
1．以下条件中能够判定一个三角形是等腰三角形是（ ）
①一条边上的高线与这条边上的中线重合
②一条边上的高线与这条边所对的角的角平分线重合
③一条边上的中线与这条边所对的角的角平分线重合
A．只有①和②可以B．只有①和③可以
C．只有②和③可以D．①②③全部都可以
2．若a，b是等腰△ABC的两边，且满足|a﹣3|+（b﹣7）2＝0，则此三角形的周长为（ ）
A．13B．17C．13或17D．20
3．已知AD是等腰△ABC底边BC上的高，若点D到直线AB的距离为6，则点D到直线AC的距离为（ ）
A．7B．6C．4D．3
4．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
5．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，则下列说法错误的是（ ）
A．△BDF是等腰三角形
B．DF＝EF
C．若∠A＝50°，则∠BFC＝115°
D．DE＝BD+CE
6．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于（ ）
A．60°B．75°C．70°D．90°
7．如图，CD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AC于点E，交∠ABC的平分线于点F，若BD＝10，CE＝7，则EF的长为（ ）
A．4B．3C．2D．无法求出
8．等腰三角形一腰上的高与另一腰所夹的角为40°，则顶角的度数为（ ）
A．50°B．120°C．50°或120°D．50°或130°
9．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
A．2B．5C．1或5D．2或3
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝27，直线EF垂直平分线段AB，若点D为边BC的中点，点G为直线EF上一动点，则△BDG周长的最小值为（ ）
A．10B．11C．12D．13
11．如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AB＝AD，连接BD，点E是BD的中点，连接AE，若∠DAE＝32°，∠DBC＝20°，则∠C的度数为 °．
12．如图，AB＝AD，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝50°，则∠BAE的度数为 ．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BA的延长线于点E，连接CE，若CD=32，CE＝4，则BE的长为 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．
（1）当D为BC中点时，∠AED＝ °；
（2）当BD＝CE时，∠AED＝ °．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，证明△ADN为等腰直角三角形．
17．王晓想测量一棵树的高度AB，如图，树杆AB上的C处开始有分枝长出，王晓在地面上的点D处测得∠CDB＝45°，他操控一架无人机，使无人机停留在空中点P处时，恰好测得PA＝PE，PC＝PD，且A、P、D三点在一条直线上，C、P、E三点在一条直线上，点E在BD的延长线上，若BD＝6米，DE＝5米，AB⊥BE于点B，请你求出这棵树的高度AB．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AC的垂直平分线EF，分别交AC、AB、AD于点E、F、O，连接CO、BO．
（1）若OB＝1，求OA的长；
（2）若∠ABC＝70°，求∠OCD的度数．
19．如图所示，△ABC中，AB＝BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．
20．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
教学目标
掌握等腰三角形的相关概念及其性质并能够对其熟练应用。
掌握等腰三角形的判定方法，能够运用已知条件熟练判定等腰三角形。
教学重难点
重点
等腰三角形的性质；
等腰三角形的判定。
2. 难点
（1）利用等腰三角形的性质解决线段与角度的问题；
（2）等腰三角形的判定与性质的综合应用；
（3）注意有关于等腰三角形的分类讨论。